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橢圓包絡線

AstroidEllipses

考慮以下橢圓族

(x^2)/(c^2)+(y^2)/((1-c)^2)-1=0
(1)

對於 c in [0,1]。關於 c 的偏導數為

-(2x^2)/(c^3)+(2y^2)/((1-c)^3)=0
(2)
(x^2)/(c^3)-(y^2)/((1-c)^3)=0.
(3)

結合 (1) 和 (3) 得到方程組

[1/(c^2) 1/((1-c)^2); 1/(c^3) -1/((1-c)^3)][x^2; y^2]=[1; 0]
(4)
[x^2; y^2]=1/Delta[-1/((1-c)^3) -1/((1-c)^2); -1/(c^3) 1/(c^2)][1; 0]
(5)
=1/Delta[-1/((1-c)^3); -1/(c^3)],
(6)

其中二次曲線判別式為

Delta=-1/(c^2(1-c)^3)-1/(c^3(1-c)^2)=-1/(c^3(1-c)^3),
(7)

因此 (6) 變為

[x^2; y^2]=[c^3; (1-c)^3].
(8)

消去 c 則得到

x^(2/3)+y^(2/3)=1,
(9)

這是星形線的方程。如果曲線是以引數形式表示，則

x=ccost
(10)
y=(1-c)sint.
(11)

求解

(partialx)/(partialt)(partialy)/(partialc)-(partialx)/(partialc)(partialy)/(partialt)=(-csint)(-sint)-(cost)[(1-c)cost] =c(sin^2t+cos^2t)-cos^2t=c-cos^2t=0
(12)

關於 c 得到

c=cos^2t,
(13)

因此將其代回 (10) 和 (11) 得到

x=(cos^2t)cost
(14)
=cos^3t
(15)
y=(1-cos^2t)sint
(16)
=sin^3t,
(17)

星形線的引數方程。

參見

星形線, 橢圓, 包絡線

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. “橢圓包絡線。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EllipseEnvelope.html

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