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二次曲線判別式

給定一個一般二次曲線

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,
(1)

量 X 被稱為判別式，其中

X=B^2-4AC,
(2)

並且在旋轉下是不變的。使用來自二次方程的係數，對於角度為 theta 的旋轉，

A^'=1/2A[1+cos(2theta)]+1/2Bsin(2theta)+1/2C[1-cos(2theta)]
(3)
=(A+C)/2+B/2sin(2theta)+(A-C)/2cos(2theta)
(4)
B^'=Gcos(2theta+delta-pi/2)=Gsin(2theta+delta)
(5)
C^'=1/2A[1-cos(2theta)]-1/2Bsin(2theta)+1/2C[1+cos(2theta)]
(6)
(7)
=(A+C)/2-B/2sin(2theta)+(C-A)/2cos(2theta).
(8)

現在令

G=sqrt(B^2+(A-C)^2)
(9)
delta=tan^(-1)(B/(C-A))
(10)
delta_2=tan^(-1)((A-C)/B)
(11)
=-cot^(-1)(B/(C-A)),
(12)

並使用

cot^(-1)(x)=1/2pi-tan^(-1)(x)
(13)
delta_2=delta-1/2pi
(14)

來重寫帶撇的變數

A^'=(A+C)/2+1/2Gcos(2theta+delta)
(15)
B^'=Bcos(2theta)+(C-A)sin(2theta)
(16)
=Gcos(2theta+delta_2)
(17)
C^'=(A+C)/2-1/2Gcos(2theta+delta).
(18)

從 (16) 和 (18) 可以得出

4A^'C^'=(A+C)^2-G^2cos(2theta+delta).
(19)

與 (17) 結合得到，對於任意 theta

X=B^('2)-4A^'C^'
(20)
=G^2sin^2(2theta+delta)+G^2cos^2(2theta+delta)-(A+C)^2
(21)
=G^2-(A+C)^2=B^2+(A-C)^2-(A+C)^2
(22)
=B^2-4AC,
(23)

因此，它在旋轉下是不變的。因此，這個不變數為確定二次曲線表示的形狀提供了一個有用的快捷方式。選擇 theta 使 B^'=0 (參見 二次方程)，曲線呈現以下形式

A^'x^2+C^'y^2+D^'x+E^'y+F=0.
(24)

配方法並定義新變數得到

A^'x^('2)+C^'y^('2)=H.
(25)

不失一般性，取 H 的符號為正。判別式為

X=B^('2)-4A^'C^'=-4A^'C^'.
(26)

現在，如果 -4A^'C^'<0，則 A^' 和 C^' 都具有相同的符號，並且該方程具有橢圓的一般形式（如果 A^' 和 B^' 為正）。如果 -4A^'C^'>0，則 A^' 和 C^' 具有相反的符號，並且該方程具有雙曲線的一般形式。如果 -4A^'C^'=0，則 A^' 或 C^' 之一為零，並且該方程具有拋物線的一般形式（如果非零 A^' 或 C^' 為正）。由於判別式是不變的，因此這些結論也適用於 theta 的任意選擇，因此當 -4A^'C^' 被原始的 B^2-4AC 替換時，它們也成立。一般結果是

1. 如果 B^2-4AC<0，則方程表示橢圓，圓（退化的橢圓），點（退化的圓），或沒有圖形。

2. 如果 B^2-4AC>0，則方程表示雙曲線或一對相交線（退化的雙曲線）。

3. 如果 B^2-4AC=0，則方程表示拋物線，直線（退化的拋物線），一對平行線（退化的拋物線），或沒有圖形。

另請參閱

二次

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. "二次曲線判別式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/QuadraticCurveDiscriminant.html

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