腎形線

具有兩個尖點的外擺線被稱為腎形線。“Nephroid”這個名字的意思是“腎形的”，最早由 Proctor 在 1878 年用於指代具有兩個尖點的外擺線 (MacTutor Archive)。

腎形線是源自心臟線尖點的光線經其反射後的反射包絡線。此外，惠更斯在 1678 年指出，當光源位於無窮遠處時，腎形線是圓的反射包絡線，他在 1690 年出版的《光論》中發表了這一觀察結果 (MacTutor Archive)。（Trott 2004 年，第 17 頁錯誤地指出，平行光照射到任何凹面鏡上的反射包絡線都是腎形線。）彈出式卡片產生的 “扁平遮陽曲線”（被稱為“騎士遮陽板”）的形狀是半個腎形線 (Jakus and O'Rourke 2012)。

由於腎形線有 個尖點，，以及關於引數 的 方程由外擺線方程給出

(1)

其中 ,

(2)

其中

(3)

這可以寫成

(4)

引數方程為

			(5)
			(6)
			(7)

笛卡爾方程為

(8)

腎形線的面積和弧長為，

			(9)
			(10)

弧長、曲率和切線角作為引數 的函式為

			(11)
			(12)
			(13)

其中， 和 的表示式對於 有效。

腎形線可以生成為以給定圓為圓心且與該圓的直徑之一相切的圓的包絡線 (Wells 1991)。