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Freeth's 腎形線

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FreethsNephroid

一個 蚶線，其 圓 的 極點 O 位於 圓心，固定點 P 位於 圓周 上。Freeth (1878, pp. 130 和 228) 描述了這個以及其他各種 蚶線 (MacTutor Archive)。

它具有 極座標方程

r=a[1+2sin(1/2theta)].
(1)

曲線外邊界包圍的面積是

A=a^2(8+3pi),
(2)

總 弧長 是

s=8/3sqrt(3)a[3E(k)-3K(k)+4Pi(-1/3,k)]
(3)
=21.203405...a
(4)

(OEIS A138498), 其中 k=sqrt(2/3), K(k) 是 第一類完全橢圓積分, E(k) 是 第二類完全橢圓積分, 並且 Pi(x,k) 是 第三類完全橢圓積分。

如果穿過 P 且 平行 於 y 軸 的直線與 腎形線 交於 A, 那麼 角 AOP 是 3pi/7, 因此該曲線可以用於構造正 七邊形。

曲率 和 切線角 由下式給出

kappa(t)=(sqrt(2)[9-3cost+9sin(1/2t)])/([7-3cost+8sin(1/2t)]^(3/2))
(5)
phi(t)=-1/4pi+t+tan^(-1)[sec(1/2t)+2tan(1/2t)]+pi|_(pi+t)/(2pi)_|,
(6)

其中 |_x_| 是 向下取整函式。

參見

蚶線

使用 探索

參考文獻

Freeth, Rev. T. J. 1878 年 5 月 8 日致倫敦數學學會的通訊，參考文獻為 "The Nephroid, Heptagon, &c." Proc. London. Math. Soc. 10, p. 130, 1878. 該曲線在第 10 卷附錄 p. 228 中有明確描述。Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 175 和 177-178, 1972.MacTutor History of Mathematics Archive. "Freeth's Nephroid." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Freeths.html.Sloane, N. J. A. 序列 A138498，出自 "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

引用為

Weisstein, Eric W. "Freeth's Nephroid." 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/FreethsNephroid.html

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