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桶

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Barrel

桶是一種旋轉體，由平行的圓形頂部和底部組成，具有共同的軸，側面由關於中平面對稱的平滑曲線形成。

“桶”這個術語在泛函分析中也具有技術含義。 特別是，如果拓撲線性空間的子集是吸收的、閉合的和絕對凸的（Taylor 和 Lay 1980，第 111 頁），則它是桶。（拓撲線性空間 X 的子集 S 是吸收的，如果對於每個 x in X，都存在一個 r>0，使得 ax 在 X 中，如果對於每個 a 使得 |a|>=r。拓撲線性空間的子集 S 是絕對凸的，如果對於 x 和 y 在 S 中，ax+by 在 S 中，如果 |a|+|b|<=1。）

在為他的第二次婚禮購買用品時，偉大的天文學家約翰內斯·開普勒對商人用來估計酒桶液體含量的粗略方法感到不滿。 因此，開普勒研究了近 100 個旋轉體的性質，這些旋轉體是透過圓錐曲線繞非主軸旋轉生成的（Kepler、MacDonnell、Shechter、Tikhomirov 1991）。

BarrelElliptic

對於由橢圓弧組成的側面，側面的方程由下式給出

x(z)=r_2sqrt(1-((z-1/2h)^2)/(a^2)),
(1)

其中 x(0)=r_1。求解 a 得到

a=(hr_2)/(2sqrt(r_2^2-r_1^2)),
(2)

所以側面的方程為

x(z)=sqrt(r_2^2+((r_1-r_2)(r_1+r_2)(h-2z)^2)/(h^2)).
(3)

然後使用旋轉體的方程得到

V=piint_0^h[x(z)]^2dz
(4)
=1/3pih(2r_2^2+r_1^2),
(5)
BarrelParabolic

對於由拋物線段組成的側面，側面的方程由下式給出

x(z)=r_2+a(z-1/2h)^2
(6)

其中 x(0)=r_1。求解 a 得到

a=(4(r_1-r_2))/(h^2),
(7)

所以側面的方程為

x(z)=r_2+((r_1-r_2)(h-2z)^2)/(h^2).
(8)

然後使用旋轉體的方程得到

V=piint_0^h[x(z)]^2dz
(9)
=1/(15)pih(3r_1^2+4r_1r_2+8r_2^2).
(10)

參見

圓柱體， 雙曲面， 旋轉體

使用 探索

參考文獻

Harris, J. W. 和 Stocker, H. "Barrel." §4.10.4 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.Kepler, J. New Solid Geometry of Win Barrels.MacDonnell, J. "The Mathematician's Quest for Superlatives from Geometrical and Calculus Considerations." http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/superlatives.htm.Shechter, B.-S. "Kepler's Wine Barrel Problem in a Dynamic Geometry Environment." http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap420.pdf.Taylor, A. E. 和 Lay, D. C. Introduction to Functional Analysis, 2nd ed. New York: Wiley, 1980.Tikhomirov, V. M. "New Solid Geometry of Wine Barrels." Stories About Maxima and Minima. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991.

在 中引用

桶

引用為

Weisstein, Eric W. "Barrel." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Barrel.html

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