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拋物線弓形

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ParabolicSegment

拋物線弓形的 弧長

y=h(1-(x^2)/(a^2))
(1)

如上圖所示，由下式給出

s=int_(-a)^asqrt(1+y^('2))dx
(2)
=2int_0^asqrt(1+y^('2))dx
(3)
=sqrt(a^2+4h^2)+(a^2)/(2h)sinh^(-1)((2h)/a),
(4)

面積由下式給出

A=int_(-a)^ah(1-(x^2)/(a^2))dx
(5)
=4/3ah
(6)

（Kern 和 Bland，1948 年，第 4 頁）。 y 的加權平均值為

<y>=int_(-a)^aint_0^(h(1-x^2/a^2))ydxdy
(7)
=8/(15)ah^2,
(8)

因此，幾何質心 由下式給出

y^_=(<y>)/A
(9)
=2/5h.
(10)
ParabolicSegment2

曲線之間截斷的拋物線弓形的 面積

y=x^2
(11)
y=ax+b
(12)

可以透過消除 y 來找到，

x^2-ax-b=0,
(13)

因此，交點為

x_+/-=1/2(a+/-sqrt(a^2+4b)),
(14)

對應的 y-座標 y_+/-=x_+/-^2。因此，面積 由下式給出

A=int_(a-sqrt(a^2+4b))^(a+sqrt(a^2+4b))[(ax+b)-x^2]dx
(15)
=1/6(a^2+4b)sqrt(a^2+4b)
(16)
=1/6(a^2+4b)^(3/2).
(17)

內接於此弓形的 三角形 的最大 面積 將使其兩個 多邊形頂點 位於交點 (x_-,y_-) 和 (x_+,y_+)，第三個頂點位於待確定的點 (x^*,y^*)。根據三角形的一般方程，內接三角形的 面積 由 行列式 方程給出

A_Delta=|x^- y^- 1; x^+ y^+ 1; x^* y^* 1|.
(18)

代入並使用 y_*=x_*^2 得到

A_Delta=1/2[b+(a-x^*)x^*]sqrt(a^2+4b).
(19)

為了找到最大 面積，對 x^* 求導並設為 0 以獲得

(partialA_Delta)/(partialx_*)=1/2(a-2x^*)sqrt(a^2+4b)=0,
(20)

因此

x_*=1/2a.
(21)

然後將 (21) 代入 (19) 得到

A=1/8(a^2+4b)^(3/2).
(22)

這匯出了公元前三世紀阿基米德已知的結論，即

A/(A_Delta)=(1/6)/(1/8)=4/3.
(23)

另請參閱

圓弓形, 幾何質心, 拋物線

使用 探索

參考文獻

Beyer, W. H. (Ed.). CRC 標準數學表，第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 125, 1987.Kern, W. F. and Bland, J. R. 帶證明的立體測量，第 2 版 New York: Wiley, p. 4, 1948.

請引用為

Weisstein, Eric W. "Parabolic Segment." 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/ParabolicSegment.html

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