曳物線

曳物線出現在萊布尼茨提出的以下問題中：當一個物體以垂直偏移開始，並被一根恆定長度的繩子沿著一條水平直線拖動時，它的路徑是什麼（Steinhaus 1999，第250-251頁）？透過將物體與狗聯絡起來，將繩子與皮帶聯絡起來，並將沿著水平線的拉動與狗的主人聯絡起來，這條曲線在德語中有一個描述性的名稱“hundkurve”（狗曲線）。萊布尼茨利用軸是曳物線的漸近線這一事實找到了這條曲線（MacTutor Archive）。

從其定義來看，曳物線正是由最初在頂點上的點描述的懸鏈線漸伸線（因此懸鏈線是曳物線漸屈線）。曳物線有時被稱為追蹤曲線或等切線曲線。曳物線最初由惠更斯於 1692 年研究，他將其命名為“tractrix”。後來，萊布尼茨、約翰·伯努利和其他人也研究了這條曲線。

在笛卡爾座標系中，曳物線的方程為

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一個引數形式是

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對於引數化為 的弧長、曲率和切線角為

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其中 是 古德曼函式。

令人驚訝的是，曲線下的面積由下式給出

(7)

透過計算可以找到以曳物線的直線切線的角度 表示的第二個引數形式

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然後求解 並代入得到

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（Gray 1997）。此引數化的曲率為

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用角度 表示，引數方程可以寫成

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（Lockwood 1967，第 123 頁），其中 是反古德曼函式。

一個以恆定速度 遍歷曳物線的引數化由下式給出

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當曳物線繞其漸近線旋轉時，會產生一個偽球面。這是一個具有恆定負曲率的曲面。對於曳物線，從其接觸點到漸近線的切線長度是恆定的。曳物線及其漸近線之間的面積是有限的。