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超階乘

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Hyperfactorial

超階乘（Sloane 和 Plouffe 1995）是由下式定義的函式

H(n)=K(n+1)
(1)
=product_(k=1)^(n)k^k,
(2)

其中 K(n) 是 K 函式。

超階乘在 Wolfram 語言 中實現為超階乘[n]。

對於整數值 n=1、2、... 分別為 1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000、... (OEIS A002109)。

HyperfactorialReIm
HyperfactorialContours

超階乘也可以推廣到複數，如上所示。

Barnes G 函式和超階乘 H(z) 滿足以下關係

H(z-1)G(z)=e^((z-1)logGamma(z))
(3)

對於所有複數 z。

超階乘由積分給出

H(z)=(2pi)^(-z/2)exp[(z+1; 2)+int_0^zln(t!)dt]
(4)

和閉合形式表示式

K(z)=exp[zeta^'(-1,z+1)-zeta^'(-1)]
(5)

對於 R[z]>0，其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式，zeta^'(z) 是它的導數，zeta(a,z) 是 赫爾維茨 zeta 函式，並且

zeta^'(a,z)=[(dzeta(s,z))/(ds)]_(s=a).
(6)

H(z) 也具有 斯特林 級數

H(z)∼Ae^(-z^2/4)z^(z(z+1)/2+1/12)×(1+1/(720z^2)-(1433)/(7257600z^4)+...)
(7)

（OEIS A143475 和 A143476）。

H(-1/2) 具有特殊值

H(-1/2)=e^(-[(ln2)/3+12zeta^'(-1)]/8)
(8)
=2^(1/12)pi^(1/8)e^([gamma-1-zeta^'(2)/zeta(2)]/8)
(9)
=(A^(3/2))/(2^(1/24)e^(1/8)),
(10)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，A 是 格萊舍-金克林常數。

導數由下式給出

(dH(x))/(dx)=H(x){1/2[1-ln(2pi)]+ln(Gamma(x+1))+x}.
(11)

另請參閱

Barnes G 函式, 格萊舍-金克林常數, K 函式, 超階乘

使用 探索

參考文獻

Fletcher, A.; Miller, J. C. P.; Rosenhead, L.; and Comrie, L. J. An Index of Mathematical Tables, Vol. 1, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 50, 1962.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 477, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A002109/M3706, A143475, and A143476 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中引用

超階乘

請引用為

Weisstein, Eric W. "超階乘。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Hyperfactorial.html

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