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裡卡蒂微分方程

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有許多方程被稱為裡卡蒂微分方程。最常見的是

z^2w^('')+[z^2-n(n+1)]w=0
(1)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 445; Zwillinger 1997, p. 126), 它具有解

w=Azj_n(z)+Bzy_n(z),
(2)

其中 j_n(z) 和 y_n(z) 是第一類和第二類球貝塞爾函式。

另一個裡卡蒂微分方程是

(dy)/(dz)=az^n+by^2,
(3)

只有當 n=-4m/(2m+/-1) 時，它才能用代數函式、指數函式和對數函式求解，對於 m=0, 1, 2, ....

還有另一個裡卡蒂微分方程是

w^'=P(z)+Q(z)w+R(z)w^2,
(4)

其中 w^'=dw/dz (Boyce 和 DiPrima 1986, p. 87)。變換式

w=-(y^')/(yR(z))
(5)

導致二階線性齊次方程

R(z)y^('')-[R^'(z)+Q(z)R(z)]y^'+[R(z)]^2P(z)y=0.
(6)

如果已知 (4) 的一個特解 w_1，那麼可以從下式獲得包含單個任意常數的更一般的解

w=w_1(z)+1/(v(z)),
(7)

其中 v(z) 是線性一階方程的解

v^'=-[Q(z)+2R(z)w_1(z)]v-R(z)
(8)

(Boyce 和 DiPrima 1986, p. 87)。這個結果歸功於 1760 年的尤拉。

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編輯). "Riccati-Bessel 函式." §10.3 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 445, 1972.Bender, C. M. 和 Orszag, S. A. §1.6 in 科學家和工程師高階數學方法。 New York: McGraw-Hill, 1978.Boyce, W. E. 和 DiPrima, R. C. 初等微分方程和邊值問題，第 4 版。 New York: Wiley, 1986.Boyle, P. P.; Tian, W.; 和 Guan, F. "數學金融中的裡卡蒂方程." J. Symb. Comput. 33, 343-355, 2002.Glaisher, J. W. L. "關於裡卡蒂方程." Quart. J. Pure Appl. Math. 11, 267-273, 1871.Goldstein, M. E. 和 Braun, W. H. 微分方程解法高階方法。 NASA SP-316. Washington, DC: U.S. Government Printing Office, pp. 45-46, 1973.Ince, E. L. 常微分方程。 New York: Dover, pp. 23-35 和 295, 1956.Reid, W. T. 裡卡蒂微分方程。 New York: Academic Press, 1972.Simmons, G. F. 帶應用和歷史註釋的微分方程。 New York: McGraw-Hill, pp. 62-63, 1972.Zwillinger, D. (編輯). CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 414, 1995.Zwillinger, D. "裡卡蒂方程 - 1 和裡卡蒂方程 - 2." §II.A.75 和 II.A.76 in 微分方程手冊，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, pp. 121 和 288-291, 1997.

在 中被引用

裡卡蒂微分方程

請引用為

Weisstein, Eric W. "裡卡蒂微分方程。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/RiccatiDifferentialEquation.html

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