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球貝塞爾第一類函式

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SphericalBesselj

球貝塞爾第一類函式，記作 j_nu(z)，定義為

j_nu(z)=sqrt(pi/(2z))J_(nu+1/2)(z),
(1)

其中 J_nu(z) 是第一類貝塞爾函式，一般情況下，z 和 nu 是複數。

此函式最常用於 nu=n 為整數的情況，在這種情況下，它由下式給出

j_n(z)=2^nz^nsum_(k=0)^(infty)((-1)^k(k+n)!)/(k!(2k+2n+1)!)z^(2k)
(2)
=z^nsum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(k!(2k+2n+1)!!)((z^2)/2)^k
(3)
=(-1)^nz^n(d/(zdz))^n(sinz)/z.
(4)

方程 (4) 顯示了 j_n(0) 和 sinc 函式 sinc(x)=sinx/x 之間的密切聯絡。

球貝塞爾函式 j_nu(z) 在 Wolfram 語言 中實現為SphericalBesselJ[nu, z] 使用定義

j_nu(z)=sqrt(pi/2)1/(sqrt(z))J_(nu+1/2)(z),
(5)

這與“傳統版本”沿著 分支切割 的 平方根 函式不同，即負實軸（例如，在 j_0(-1)），但對於複數 z 具有更好的解析性質 (Falloon 2001)。

前幾個函式是

j_0(z)=(sinz)/z
(6)
j_1(z)=(sinz)/(z^2)-(cosz)/z
(7)
j_2(z)=(3/(z^3)-1/z)sinz-3/(z^2)cosz,
(8)

其中包括特殊值

j_0(z)=sinc(z).
(9)

另請參閱

Sinc 函式, 球貝塞爾微分方程, 第二類貝塞爾函式, 泊松積分表示, 瑞利公式, 球貝塞爾第二類函式

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Spherical Bessel Functions." §10.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 437-442, 1972.Arfken, G. "Spherical Bessel Functions." §11.7 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 622-636, 1985.Falloon, P. E. Theory and Computation of Spheroidal Harmonics with General Arguments. Masters thesis. Perth, Australia: University of Western Australia, 2001. http://www.physics.uwa.edu.au/pub/Theses/2002/Falloon/Masters_Thesis.pdf.

在 上引用

球貝塞爾第一類函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "球貝塞爾第一類函式。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/SphericalBesselFunctionoftheFirstKind.html

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