考慮 亥姆霍茲微分方程
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(1)
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在 球座標系 中。這只是 拉普拉斯方程 在 球座標系 中加上一個附加項，
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(2)
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同乘 
,
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(3)
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這個方程在 
中是可分離變數的。稱分離常數為 
,
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(4)
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現在同乘 
,
![r^2(d^2R)/(dr^2)+2r(dR)/(dr)+[k^2r^2-n(n+1)]R=0.](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation5.svg) |
(5)
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這就是球貝塞爾微分方程。可以透過令 
來變換它，然後
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(6)
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類似地，
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(7)
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所以方程變為
![x^2(d^2R)/(dx^2)+2x(dR)/(dx)+[x^2-n(n+1)]R=0.](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation8.svg) |
(8)
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現在尋找形如 R(r)=Z(x)x^(-1/2) 的解 
, 用撇號表示對 
的導數，
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(9)
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(10)
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(11)
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所以
![x^2(Z^('')x^(-1/2)-Z^'x^(-3/2)+3/4Zx^(-5/2))+2x(Z^'x^(-1/2)-1/2Zx^(-3/2))+[x^2-n(n+1)]Zx^(-1/2)=0](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation9.svg) |
(12)
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![x^2(Z^('')-Z^'x^(-1)+3/4Zx^(-2))+2x(Z^'-1/2Zx^(-1))+[x^2-n(n+1)]Z=0](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation10.svg) |
(13)
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![x^2Z^('')+(-x+2x)Z^'+[3/4-1+x^2-n(n+1)]Z=0](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation11.svg) |
(14)
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![x^2Z^('')+xZ^'+[x^2-(n^2+n+1/4)]Z=0](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation12.svg) |
(15)
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![x^2Z^('')+xZ^'+[x^2-(n+1/2)^2]Z=0.](/images/equations/SphericalBesselDifferentialEquation/NumberedEquation13.svg) |
(16)
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但這個方程的解是半整數階 貝塞爾函式，所以原方程的歸一化解是
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(17)
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這被稱為 球貝塞爾函式。兩種型別的解分別表示為 
(第一類球貝塞爾函式) 或 
(第二類球貝塞爾函式)，通解寫為
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(18)
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其中
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(19)
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(20)
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