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Ber


Ber5

函式 ber_nu(z) 透過以下方程定義

 J_nu(ze^(3pii/4))=ber_nu(z)+ibei_nu(z),
(1)

其中 J_nu(z)第一類貝塞爾函式,因此

 ber_nu(z)=R[J_nu(ze^(3pii/4))],
(2)

其中 R[z]實部

該函式在 Wolfram 語言中實現為KelvinBer[nu, z].

函式 ber_nu(z) 具有級數展開式

 ber_nu(z)=(1/2z)^nusum_(k=0)^infty(cos[(3/4nu+1/2k)pi])/(k!Gamma(nu+k+1))(1/4z^2)^k,
(3)

其中 Gamma(z)伽瑪函式 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 379),可以寫成閉合形式為

 ber_nu(z)=1/2e^(-3ipinu/4)z^nu[(-1)^(1/4)z]^(-nu) 
 ×[e^(3piinu/2)I_nu((-1)^(1/4)z)+J_nu((-1)^(1/4)z)],
(4)

其中 I_nu(z)第一類修正貝塞爾函式

Ber
BerReIm
BerContours

特殊情況 nu=0,通常表示為 ber(x),對應於

 J_0(isqrt(i)z)=ber(z)+ibei(z),
(5)

其中 J_0(z) 是零階第一類貝塞爾函式。函式 ber_0(z)=ber(z) 具有級數展開式

 ber(z)=1+sum_(n=1)^infty((-1)^n(1/2z)^(4n))/([(2n)!]^2)
(6)

可以寫成閉合形式為

ber(z)=1/2[I_0((-1)^(1/4)z)+J_0((-1)^(1/4)z)]
(7)
=1/2[I_0((-1)^(1/4)z)+I_0((-1)^(3/4)z)].
(8)

另請參閱

Bei, 貝塞爾函式, Kei, 開爾文函式, Ker

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "開爾文函式。" §9.9 in 數學函式手冊,包含公式、圖表和數學表格,第 9 版。 New York: Dover, pp. 379-381, 1972.Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "開爾文函式 ber_nu(x), beinu(x), ker_nu(x)kei_nu(x)。" §1.7 in 積分與級數,第 3 卷:更多特殊函式。 Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 29-30, 1990.Spanier, J. and Oldham, K. B. "開爾文函式。" Ch. 55 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 543-554, 1987.

在 中被引用

Ber

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "Ber." 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Ber.html

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