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雙曲餘切

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Coth
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雙曲餘切的定義為

cothz=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z))=(e^(2z)+1)/(e^(2z)-1).
(1)

有時也使用符號 cthz (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. xxix)。它在 Wolfram 語言中被實現為Coth[z].

雙曲餘切滿足恆等式

coth(z/2)-cothz=cschz,
(2)

其中 cschz 是雙曲餘割。

它有一個唯一的實數不動點，其中

cothu=u
(3)

在 u^*=1.19967874... (OEIS A085984)，它與解開普勒方程中的拉普拉斯極限有關。

導數由下式給出

d/(dz)cothz=-csch^2z,
(4)

其中 cschz 是雙曲餘割，不定積分由下式給出

intcothzdz=ln(sinhz)+C,
(5)

其中 C 是積分常數。

洛朗級數 cothz 由下式給出

cothz=1/z+sum_(n=1)^(infty)(2^(2n)B_(2n))/((2n)!)z^(2n-1)
(6)
=1/z+1/3z-1/(45)z^3+2/(945)z^5-...
(7)

(OEIS A002431 和 A036278)，其中 B_n 是伯努利數，而 B_n(z) 是伯努利多項式。關於實數線上無窮遠的漸近級數由下式給出

cothz∼1+2e^(-2z)+2e^(-4z)+....
(8)

另請參閱

伯努利數, 雙極座標, 雙極柱座標, 餘切, 雙曲函式, 雙曲正切, 反雙曲餘切, 拉普拉斯方程--環面座標, 勒貝格常數, 長球面座標, 旋轉曲面, 環面座標, 環面函式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). "雙曲函式." §4.5 在 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, 頁碼 83-86, 1972.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 積分表、級數表和乘積表，第 6 版。 San Diego, CA: Academic Press, 2000.Jeffrey, A. "雙曲恆等式." §2.5 在 數學公式和積分手冊，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, 頁碼 117-122, 2000.Sloane, N. J. A. 序列 A002431/M0124 和 A036278 在 "整數序列線上百科全書" 中。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "雙曲正切 tanh(x) 和餘切 coth(x) 函式." 第 30 章 在 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, 頁碼 279-284, 1987.Zwillinger, D. (編). "雙曲函式." §6.7 在 CRC 標準數學表格和公式手冊。 Boca Raton, FL: CRC Press, 頁碼 476-481 1995.Sloane, N. J. A. 序列 A010050 和 A085984 在 "整數序列線上百科全書" 中。

在 中被引用

雙曲餘切

請引用為

Weisstein, Eric W. "雙曲餘切。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HyperbolicCotangent.html

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