勒貝格常數 -- 來自

勒貝格常數

通常被稱為勒貝格常數的常數集合有兩個。第一個與透過傅立葉級數逼近函式有關，另一個出現在拉格朗日插值多項式的計算中。

假設函式在區間上可積，且是的傅立葉級數的第個部分和，使得

			(1)
			(2)

and

$S_n(f,x)=1/2a_0+{sum_(k=1)^n[a_kcos(kx)+b_ksin(kx)]}.$

(3)

如果

(4)

對於所有，則

(5)

並且是對於所有連續函式成立的最小常數。的前幾個值是

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
			(10)
			(11)
			(12)
			(13)

一些關於的求和公式包括

			(14)
			(15)

(Zygmund 1959) 以及積分公式包括

			(16)
		$4/(pi^2)int_0^infty(sinh[(2n+1)x])/(sinhx)ln{coth[1/2(2n+1)x]}dx$	(17)

(Hardy 1942)。對於大的，

(18)

這個結果可以推廣到滿足以下條件的階可微函式

(19)

對於所有。在這種情況下，

(20)

where

$L_(n,r)={1/piint_(-pi)^pi|sum_(k=n+1)^(infty)(sin(kx))/(k^r)|dx for r>=1 odd; 1/piint_(-pi)^pi|sum_(k=n+1)^(infty)(cos(kx))/(k^r)|dx for r>=1 even$

(21)

(Kolmogorov 1935, Zygmund 1959).

Watson (1930) 證明了

(22)

where

			(23)
			(24)
			(25)

(OEIS A086052)，其中是伽瑪函式，是狄利克雷 lambda 函式，且是尤拉-馬歇羅尼常數。

定義拉格朗日插值多項式的第個勒貝格常數為

(26)

那麼可以得到

(27)

拉格朗日插值的效率與增長的速度有關。Erdős (1961) 證明了存在一個正的常數，使得

(28)

對於所有。Erdős (1961) 進一步證明了

(29)

因此 (◇) 無法改進。

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更多嘗試

參考文獻

Finch, S. R. "Lebesgue Constants." §4.2 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 250-255, 2003.Erdős, P. "Problems and Results on the Theory of Interpolation, II." Acta Math. Acad. Sci. Hungary 12, 235-244, 1961.Hardy, G. H. "Note on Lebesgue's Constants in the Theory of Fourier Series." J. London Math. Soc. 17, 4-13, 1942.Kolmogorov, A. N. "Zur Grössenordnung des Restgliedes Fourierscher reihen differenzierbarer Funktionen." Ann. Math. 36, 521-526, 1935.Sloane, N. J. A. Sequence A086052 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. "The Constants of Landau and Lebesgue." Quart. J. Math. Oxford 1, 310-318, 1930.Zygmund, A. G. Trigonometric Series, 2nd ed., Vols. 1-2. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1959.

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Weisstein, Eric W. "Lebesgue Constants." From --A Resource. https://mathworld.tw/LebesgueConstants.html

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