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拉格朗日插值多項式

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LagrangeInterpolatingPoly

拉格朗日插值多項式是 degree <=(n-1) 的多項式 P(x)，它穿過 n 個點 (x_1,y_1=f(x_1)), (x_2,y_2=f(x_2)), ..., (x_n,y_n=f(x_n))，並由下式給出

P(x)=sum_(j=1)^nP_j(x),
(1)

其中

P_j(x)=y_jproduct_(k=1; k!=j)^n(x-x_k)/(x_j-x_k).
(2)

顯式地寫出，

P(x)=((x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_1-x_2)(x_1-x_3)...(x_1-x_n))y_1+((x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n))/((x_2-x_1)(x_2-x_3)...(x_2-x_n))y_2+...+((x-x_1)(x-x_2)...(x-x_(n-1)))/((x_n-x_1)(x_n-x_2)...(x_n-x_(n-1)))y_n.
(3)

該公式最早由 Waring (1779) 發表，1783 年被 Euler 重新發現，並於 1795 年由 Lagrange 發表 (Jeffreys and Jeffreys 1988)。

拉格朗日插值多項式在 Wolfram 語言中實現為InterpolatingPolynomial[data, var]。 它們被使用，例如，在牛頓-科特斯公式的構建中。

在構造插值多項式時，需要在更好的擬合和具有平滑良好行為的擬合函式之間進行權衡。 插值中使用的資料點越多，結果多項式的次數越高，因此它在資料點之間表現出的振盪越大。 因此，高次插值可能不是點之間函式的良好預測器，儘管資料點處的精度將是“完美的”。

對於 n=3 個點，

P(x)=((x-x_2)(x-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+((x-x_1)(x-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+((x-x_1)(x-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3
(4)
P^'(x)=(2x-x_2-x_3)/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+(2x-x_1-x_3)/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+(2x-x_1-x_2)/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3.
(5)

請注意，函式 P(x) 穿過點 (x_i,y_i)，正如在 n=3 的情況下可以看到的那樣，

P(x_1)=((x_1-x_2)(x_1-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+((x_1-x_1)(x_1-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+((x_1-x_1)(x_1-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3=y_1
(6)
P(x_2)=((x_2-x_2)(x_2-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+((x_2-x_1)(x_2-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+((x_2-x_1)(x_2-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3=y_2
(7)
P(x_3)=((x_3-x_2)(x_3-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))y_1+((x_3-x_1)(x_3-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))y_2+((x_3-x_1)(x_3-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))y_3=y_3.
(8)

推廣到任意 n，

P(x_j)=sum_(k=1)^nP_k(x_j)=sum_(k=1)^ndelta_(jk)y_k=y_j.
(9)

拉格朗日插值多項式也可以用 Szegö (1975) 稱之為拉格朗日基本插值多項式的形式寫出。 令

pi(x)=product_(k=1)^(n)(x-x_k)
(10)
pi(x_j)=product_(k=1)^(n)(x_j-x_k),
(11)
pi^'(x_j)=[(dpi)/(dx)]_(x=x_j)
(12)
=product_(k=1; k!=j)^(n)(x_j-x_k)
(13)

因此 pi(x) 是一個 n 次多項式，其零點在 x_1, ..., x_n。 然後透過下式定義基本多項式

pi_nu(x)=(pi(x))/(pi^'(x_nu)(x-x_nu)),
(14)

其滿足

pi_nu(x_mu)=delta_(numu),
(15)

其中 delta_(numu) 是克羅內克 delta。 現在設 y_1=P(x_1), ..., y_n=P(x_n)，則展開式

P(x)=sum_(k=1)^npi_k(x)y_k=sum_(k=1)^n(pi(x))/((x-x_k)pi^'(x_k))y_k
(16)

給出唯一的拉格朗日插值多項式，假設在 x_k 處的值為 y_k。 更一般地，設 dalpha(x) 是區間 [a,b] 上的任意分佈，{p_n(x)} 是相關的正交多項式，l_1(x), ..., l_n(x) 是對應於多項式 P_n(x) 零點集的基本多項式。 那麼

int_a^bl_nu(x)l_mu(x)dalpha(x)=lambda_mudelta_(numu)
(17)

對於 nu,mu=1, 2, ..., n，其中 lambda_nu 是克里斯托費爾數。

拉格朗日插值多項式不提供誤差估計。 計算它們的更概念上直接的方法是 Neville 演算法。

另請參閱

艾特肯插值, 埃爾米特插值多項式, 勒貝格常數, 瑪加塔常數, 內維爾演算法, 牛頓差商插值公式

本條目部分內容由 Branden Archer 貢獻

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 878-879 and 883, 1972.Beyer, W. H. (Ed.). CRC 標準數學表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 439, 1987.Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Lagrange's Interpolation Formula." §9.011 in 數學物理方法，第 3 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 260, 1988.Pearson, K. Tracts for Computers 2, 1920.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Polynomial Interpolation and Extrapolation" and "Coefficients of the Interpolating Polynomial." §3.1 and 3.5 in FORTRAN 數值食譜：科學計算的藝術，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 102-104 and 113-116, 1992.Séroul, R. "Lagrange Interpolation." §10.9 in 數學家程式設計。 Berlin: Springer-Verlag, pp. 269-273, 2000.Szegö, G. 正交多項式，第 4 版。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 329 and 332, 1975.Waring, E. Philos. Trans. 69, 59-67, 1779.Whittaker, E. T. and Robinson, G. "Lagrange's Formula of Interpolation." §17 in 觀測的演算：數值數學專論，第 4 版。 New York: Dover, pp. 28-30, 1967.

在 上被引用

拉格朗日插值多項式

請引用為

Archer, Branden 和 Weisstein, Eric W. "Lagrange Interpolating Polynomial." 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/LagrangeInterpolatingPolynomial.html

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