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埃爾米特插值多項式

設 l(x) 為一個 n次 多項式，其零點為 x_1, ..., x_n。那麼第一類和第二類基本埃爾米特插值多項式定義為

h_nu^((1))(x)=[1-(l^('')(x_nu))/(l^'(x_nu))(x-x_nu)][l_nu(x)]^2
(1)

和

h_nu^((2))(x)=(x-x_nu)[l_nu(x)]^2
(2)

對於 nu=1, 2, ...n，其中拉格朗日插值基本多項式定義為

l_nu(x)=(l(x))/(l^'(x_nu)(x-x_nu)).
(3)

它們分別被 Szegö (1975, p. 330) 記為 h_nu(x) 和 h_nu(x)。

這些多項式具有以下性質

h_nu^((1))(x_mu)=delta_(numu)
(4)
h_nu^((1))^'(x_mu)=0
(5)
h_nu^((2))(x_mu)=0
(6)
h_nu^((2))^'(x_mu)=delta_(numu).
(7)

對於 mu,nu=1, 2, ..., n。現在設 f_1, ..., f_n 和 f_1^', ..., f_n^' 為值。那麼展開式

W_n(x)=sum_(nu=1)^nf_nuh_nu^((1))(x)+sum_(nu=1)^nf_nu^'h_nu^((2))(x)
(8)

給出了唯一的埃爾米特插值基本多項式，對於該多項式

W_n(x_nu)=f_nu
(9)
W_n^'(x_nu)=f_nu^'.
(10)

如果 f_nu^'=0，這些被稱為埃爾米特插值多項式。

基本多項式滿足

h_1^((1))(x)+...+h_n^((1))(x)=1
(11)

和

sum_(nu=1)^nx_nuh_nu^((1))(x)+sum_(nu=1)^nh_nu^((2))(x)=x.
(12)

此外，如果 dalpha(x) 是區間 [a,b] 上的任意分佈，則

int_a^bh_nu^((1))(x)dalpha(x)=lambda_nu
(13)
int_a^bh_nu^((1))^'(x)dalpha(x)=0
(14)
int_a^bxh_nu^((1))^'(x)dalpha(x)=0
(15)
int_a^bh_nu^((2))(x)dalpha(x)=0
(16)
int_a^bh_nu^((2))^'(x)dalpha(x)=lambda_nu
(17)
int_a^bxh_nu^((2))^'(x)dalpha(x)=lambda_nux_nu,
(18)

其中 lambda_nu 是克里斯托費爾數。

另請參閱

克里斯托費爾數, 拉格朗日插值多項式

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參考文獻

Bartels, R. H.; Beatty, J. C.; 和 Barsky, B. A. "Hermite and Cubic Spline Interpolation." Ch. 3 in 計算機圖形學和幾何建模中樣條線使用入門。 San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, pp. 9-17, 1998.Hildebrand, F. B. 數值分析導論。 New York: McGraw-Hill, pp. 314-319, 1956.Szegö, G. 正交多項式，第 4 版。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 330-332, 1975.

在 中被引用

埃爾米特插值多項式

請引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "埃爾米特插值多項式。" 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/HermitesInterpolatingPolynomial.html

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