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開普勒方程

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KeplersEquation

開普勒方程給出了天體（如行星）的極座標與從給定初始點起經過的時間之間的關係。開普勒方程在天體力學中具有 фундаментальное 重要性，但不能用簡單函式直接反解，以確定行星在給定時間的位置。

設 平均近點角 M 為平近點角（時間的引數化），偏近點角 E 為在橢圓上以離心率 離心率 e 執行的物體的偏近點角（極角的引數化），則

M=E-esinE.
(1)

對於不是 pi 的倍數的 平均近點角 M，開普勒方程具有唯一的解，但它是超越方程，因此不能直接反解並求解 偏近點角 E 以獲得任意給定的 平均近點角 M。然而，由於其在天體力學中的重要性，已經推匯出了許多用於求解該方程的演算法。

將 偏近點角 E 寫成 離心率 e 的冪級數，得到

E=M+sum_(n=1)^inftya_ne^n,
(2)

其中係數由拉格朗日反演定理給出，為

a_n=1/(2^(n-1)n!)sum_(k=0)^(|_n/2_|)(-1)^k(n; k)(n-2k)^(n-1)sin[(n-2k)M]
(3)

（Wintner 1941, Moulton 1970, Henrici 1974, Finch 2003）。令人驚訝的是，這個級數對於

e>0.6627434193...
(4)

（OEIS A033259）發散，這個值被稱為拉普拉斯極限。事實上，偏近點角 E 作為幾何級數收斂，其比率為

r=e/(1+sqrt(1+e^2))exp(sqrt(1+e^2))
(5)

（Finch 2003）。

還有一種用第一類貝塞爾函式表示的級數解，

E=M+sum_(n=1)^infty2/nJ_n(ne)sin(nM).
(6)

該級數對於所有 離心率 e 小於 1 收斂，就像幾何級數一樣，其比率為

r=e/(1+sqrt(1-e^2))exp(sqrt(1-e^2)).
(7)

該方程也可以透過令 角 psi 為行星運動方向與矢徑垂直方向之間的角來求解。然後

tanpsi=(esinE)/(sqrt(1-e^2)).
(8)

或者，我們可以用中間變數 角 phi 來定義 離心率 e

e=sinphi,
(9)

然後

sin[1/2(v-E)]=sqrt(r/p)sin(1/2phi)sinv
(10)
sin[1/2(v+E)]=sqrt(r/p)cos(1/2phi)sinv.
(11)

迭代方法，例如簡單的

E_(i+1)=M+esinE_i
(12)

其中 E_0=0 工作良好，牛頓法也是如此，

E_(i+1)=E_i+(M+esinE_i-E_i)/(1-ecosE_i).
(13)

拉普拉斯求解開普勒方程的公式開始發散的點被稱為拉普拉斯極限。

另請參閱

偏近點角, 卡普坦級數, 拉普拉斯極限

在 中探索

參考文獻

Belur, S. V. "Solution of Kepler's Equation by Newton-Raphson Method." http://www.geocities.com/SiliconValley/2902/kepler.htm.Colwell, P. Solving Kepler's Equation over Three Centuries. Richmond, VA: Willmann-Bell, 1993.Danby, J. M. Fundamentals of Celestial Mechanics, 2nd ed., rev. ed. Richmond, VA: Willmann-Bell, 1988.Dörrie, H. "The Kepler Equation." §81 in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 330-334, 1965.Finch, S. R. "Laplace Limit Constant." §4.8 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 266-268, 2003.Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 101-102 and 123-124, 1980.Goursat, E. A Course in Mathematical Analysis, Vol. 2: Functions of a Complex Variable & Differential Equations. New York: Dover, p. 120, 1959.Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 1: Power Series-Integration-Conformal Mapping-Location of Zeros. New York: Wiley, 1974.Ioakimids, N. I. and Papadakis, K. E. "A New Simple Method for the Analytical Solution of Kepler's Equation." Celest. Mech. 35, 305-316, 1985.Ioakimids, N. I. and Papadakis, K. E. "A New Class of Quite Elementary Closed-Form Integrals Formulae for Roots of Nonlinear Systems." Appl. Math. Comput. 29, 185-196, 1989.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 36, 1983.Marion, J. B. and Thornton, S. T. "Kepler's Equations." §7.8 in Classical Dynamics of Particles & Systems, 3rd ed. San Diego, CA: Harcourt Brace Jovanovich, pp. 261-266, 1988.Moulton, F. R. An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd rev. ed. New York: Dover, pp. 159-169, 1970.Montenbruck, O. and Pfleger, T. "Mathematical Treatment of Kepler's Equation." §4.3 in Astronomy on the Personal Computer, 4th ed. Berlin: Springer-Verlag, pp. 62-63 and 65-68, 2000.Plummer, H. An Introductory Treatise of Dynamical Astronomy. New York: Dover, 1960.Siewert, C. E. and Burniston, E. E. "An Exact Analytical Solution of Kepler's Equation." Celest. Mech. 6, 294-304, 1972.Sloane, N. J. A. Sequences A033259 and A085984 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.Wintner, A. The Analytic Foundations of Celestial Mechanics. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1941.

在 中被引用

開普勒方程

引用為

Weisstein, Eric W. "開普勒方程。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/KeplersEquation.html

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