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拉普拉斯極限

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設 z=re^(itheta)=x+iy 為一個 複數，則不等式

|(zexp(sqrt(1-z^2)))/(1+sqrt(1-z^2))|<=1
(1)

在上面圖示的透鏡形區域內成立。用實變數顯式地表示，可以寫成

1+lambda+sqrt(2(1+lambda-x^2+y^2))>exp[sqrt(2(1+lambda-x^2+y^2))],
(2)

其中

lambda=sqrt([(1-x)^2+y^2][(1+x)^2+y^2]).
(3)

封閉區域的面積大約為

A approx 1.85298
(4)

(OEIS A140133)。

這個區域可以用變數 u 引數化表示為

r^2=(2u)/(sinh(2u))
(5)
sin^2theta=sinhu(ucoshu-sinhu).
(6)

用笛卡爾座標引數化表示為，

x(u)=sqrt(u(cothu-u))
(7)
y(u)=sqrt(u(u-tanhu)).
(8)

這個區域與貝塞爾函式和卡普坦級數的研究密切相關 (Plummer 1960, p. 47; Watson 1966, p. 270)。

u 在 u^*=1.19967874... 處達到最大值 (OEIS A085984; Goursat 1959, p. 120; Le Lionnais 1983, p. 36)，該最大值由以下方程的根給出

cothu=u,
(9)

或等價地由以下方程的根給出

e^x(x-1)=e^(-x)(x+1),
(10)

正如斯蒂爾切斯指出的那樣。

LaplaceLimit

對應於最大值 u^* 的最小值 r 是 r^*=0.6627434... (OEIS A033259; Plummer 1960, p. 47; Watson 1966, p. 270)，這被稱為拉普拉斯極限常數。這正是拉普拉斯公式求解開普勒方程開始發散的點，由方程 f(x)=1 的唯一實數解 e 給出，對於

f(x)=(xexp(sqrt(1+x^2)))/(1+sqrt(1+x^2)).
(11)

e 的連分數由 [0, 1, 1, 1, 27, 1, 1, 1, 8, 2, 154, ...] 給出 (OEIS A033260)。 n 在 e 的連分數中首次出現的位置是 2, 10, 35, 13, 15, 32, 101, 9, ... (OEIS A033261)。 連分數中增量最大的項是 1, 27, 154, 1601, 2135, ... (OEIS A033262)，它們出現在位置 2, 5, 11, 19, 1801, ... (OEIS A033263)。

另請參閱

偏近點角, 開普勒方程

使用 探索

參考文獻

Finch, S. R. "數學常數。" §4.8 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 266-268, 2003.Goursat, E. 數學分析教程，第 2 卷：復變數函式與微分方程。 New York: Dover, p. 120, 1959.Le Lionnais, F. 卓越數。 Paris: Hermann, p. 36, 1983.Leibovici, C. "拉普拉斯極限常數是否存在閉合形式：x 使得 xe^(sqrt(x^2+1))/(sqrt(x^2+1)+1) 使用庫函式？。" Mar. 12, 2022. https://math.stackexchange.com/questions/4393448/is-there-a-closed-form-of-the-laplace-limit-constant-x-such-that-fracxe.Moulton, F. R. "二體問題。" Ch. V in 天體力學導論，第二版。 New York: MacMillan, 1914.Plummer, H. 動力天文學入門專著。 New York: Dover, 1960.Sloane, N. J. A. Sequences A033259, A033260, A033261, A033262, A033263, A085984, and A140133 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. 貝塞爾函數理論專著，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.

請引用為

Eric W. Weisstein "拉普拉斯極限。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/LaplaceLimit.html

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