Groupoid

目前至少有三種“groupoid”的定義在使用。

第一種型別的 groupoid 是在集合上具有二元運算子的代數結構。對運算子的唯一限制是閉包性（即，將二元運算子應用於給定集合的兩個元素返回的值本身是的成員）。不要求結合性、交換性等（Rosenfeld 1968, pp. 88-103）。groupoid 可以是空的。這種型別具有, 2, ... 個元素的非同構 groupoid 的數量分別為 1, 10, 3330, 178981952, ... (OEIS A001329)，以及非同構和非反同構 groupoid 的相應數量分別為 1, 7, 1734, 89521056, ... (OEIS A001424)。結合 groupoid 稱為半群。

第二種型別的 groupoid 大致是一個範疇，它在某種意義上是“類群”的，即每個態射（或箭頭）都是可逆的。為了使這個概念更精確，人們說 groupoid 是一個範疇，它由物件的集合和箭頭的集合組成，其中每個箭頭在中都有一個逆箭頭（也在中），服從恆等式和。這裡，表示箭頭的源，表示的目標，並且等於物件的恆等箭頭。這種 groupoid 的概念已在現代數學中得到廣泛應用，並且通常被認為在許多領域中推廣了許多群論概念；特別地，可以定義流形的基本 groupoid，以及更一般的物件，例如李群 groupoid、完整群 groupoid、Étale groupoid 等（Moerdijk 和 Mrčun 2003）。

第三種類型的 groupoid 是 Brandt (1926) 首先定義的代數結構，也稱為虛擬群。以為基（或“在上”）的 groupoid 是一個集合，帶有從到的對映和，以及一個部分定義的二元運算，滿足以下四個條件

1. 當時，被定義，在這種情況下，和。

2. 結合性：如果和中的任何一個被定義，那麼另一個也被定義，並且它們相等。

3. 對於每個，分別存在左恆等元素和右恆等元素，滿足。

4. 每個都有一個逆元，滿足和。

任何群都是以單點為基的 groupoid。

以為基的最基本 groupoid 示例是對偶 groupoid，其中，並且，，以及乘法。 上的任何等價關係都定義了對偶 groupoid的子 groupoid。

考慮第三種類型的 groupoid 的一個有用的方法是將其視為上的引數化等價關係，如下所示。給定在上的 groupoid，透過為每個定義上的等價關係。這種等價關係是“引數化的”，因為在中可能存在多個元素產生相同的等價關係，即和 使得和。

雖然這並不明顯，但可以經過一些工作表明，第二種和第三種定義實際上是等價的。