乘法群

一種群，其群運算被定義為乘法。與普通乘法一樣，群元素的乘法運算可以用上圓點 表示，或者完全省略，給出符號 或 。在乘法群中，單位元 表示為 1，元素 的逆元寫為 ，讀作“ 的逆元”。這種符號和術語借用自數字構成的乘法群，其中運算是通常的算術乘積，單位元是數字 1，逆元與倒數一致。

最簡單的例子是平凡群 和 ，後者同構於迴圈加法群 。 的元素是單位根，一般來說，所有複數 次單位根的集合 是階數為 的迴圈乘法群，

(1)

其中生成元 是任意本原 次單位根。這些群都是由所有非零複數構成的乘法群 的子群。一般來說，如果 是一個可除代數，那麼集合 總是乘法群，當且僅當 當且僅當 是域時，它是交換的。如果 是伽羅瓦域 ，則其乘法群始終是迴圈的。更一般地，單位環 的可逆元素形成一個乘法群，通常表示為 或 。環 的可逆元素是所有與 互質的元素 的剩餘類。以這種方式獲得的群 具有 個元素，其中 表示尤拉函式。

所有在域 中取值的非奇異 矩陣的集合 是關於矩陣乘法的乘法群，稱為 階在 上的一般線性群。它具有特殊線性群 作為子群。如果 (或 )，我們還可以考慮正交群 、特殊正交群 、( 酉群 和 特殊酉群 ) 作為 (或 ) 的乘法子群。其他子群由以下集合構成

(2)

其中符號 表示我們僅考慮所有對角元素均為非零的矩陣。

乘法群 關於正規子群 的商群是關於陪集乘積的乘法群，定義為

(3)

一個例子是射影一般線性群

(4)

乘法群的名稱也應用於對映群，其中運算是映射覆合 。 變換群（例如旋轉群）和對稱群及其子群（例如交錯群）就是這種情況。對於所有正整數 ，對映 的 次冪定義為

(5)

負冪也照常定義，所以

(6)

如果 。