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史密斯標準型

設 A 為一個 n×n 矩陣，其元素取自 域 F。使用域中元素的三個初等行和列運算，n×n 矩陣 xI-A （其元素取自主理想域 F[x]，其中 I 是單位矩陣）可以化為對角形式

[1 0 ... 0 0 0 0 0; 0 1 ... 0 0 0 0 0; | ... ... ... ... ... ... |; 0 0 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 a_1(x) 0 0 0; 0 0 0 0 0 a_2(x) 0 0; | ... ... ... ... ... ... |; 0 0 0 0 0 0 0 a_m(x)],

其中 a_1(x), a_2(x), ..., a_m(x) 是 F[x] 的首一非零元素，其次數至少為一，並且滿足 a_1(x)|a_2(x)|...|a_m(x)，其中 f|g|h|... 表示 f 整除 g，g 又整除 h，依此類推 (Dummit and Foote 1998, pp. 390-391 and 414)。這種形式被稱為史密斯標準型，元素 a_i(x) 被稱為 A 的不變因子。

參見

埃爾米特標準型, 標準型

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參考文獻

Ayres, F. Jr. "Smith Normal Form." Ch. 24 in Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, pp. 188-195, 1962.Dumas, J.-G.; Saunders, B. D.; and Villard, G. "On Efficient Sparse Integer Matrix Smith Normal Form Computations." J. Symb. Comput. 32, 71-100, 2001.Dummit, D. S. and Foote, R. M. Abstract Algebra, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1998.Giesbrecht, M. "Fast Computation of the Smith Form of a Sparse Integer Matrix." Comput. Complexity 10, 41-69, 2001. Pascoletti, A. "Smith Normal Forms." http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/7081/.

在 中被引用

史密斯標準型

引用為

Weisstein, Eric W. "Smith Normal Form." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/SmithNormalForm.html

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