一個首一多項式的伴隨矩陣
 |
(1)
|
是 
方陣
![A=[0 0 ... 0 -a_0; 1 0 ... 0 -a_1; 0 1 ... 0 -a_2; | | ... ... |; 0 0 ... 1 -a_(n-1)]](/images/equations/CompanionMatrix/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
其次對角線上元素為 1，最後一列由 
的係數給出。請注意，在文獻中，伴隨矩陣有時定義為行和列互換，即上述矩陣的轉置。
當 
是標準基時，伴隨矩陣滿足
 |
(3)
|
對於 
，以及
 |
(4)
|
包括
 |
(5)
|
，它也是其伴隨矩陣用於將矩陣寫入有理標準型。事實上，任何 
矩陣，其矩陣最小多項式 
的多項式次數為 
，都相似於 
的伴隨矩陣。當 
的次數小於 
時，有理標準型更有意義。
以下 Wolfram 語言命令給出了變數 
中多項式 
的伴隨矩陣。
CompanionMatrix[p_, x_] := Module[
{n, w = CoefficientList[p, x]},
w = -w/Last[w];
n = Length[w] - 1;
SparseArray[{{i_, n} :> w[[i]], {i_, j_} /;
i == j + 1 -> 1}, {n, n}]]
