域自同構

域 的域自同構是一個雙射對映 ，它保留了 的所有代數性質，更準確地說，它是一個同構。例如，複共軛是（複數）的域自同構，因為

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域自同構固定包含 1 的最小域，在域特徵為零的情況下，這個最小域是 ，即有理數。

固定較小域 的 的自同構集合，透過複合運算，形成一個群，稱為伽羅瓦群，記為 。例如，取 ，有理數，以及

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它是 的一個擴張。那麼， 的唯一自同構（固定 ）是 ，其中 。 和 是 的根，這絕非偶然。基本的觀察是，對於任何自同構 ，任何係數在 中的多項式 ，以及任何域元素 ，

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所以，如果 是 的根，那麼 也是 的根。

有理數 形成的域沒有非平凡自同構。稍微複雜一點的是 透過 （2 的實立方根）的擴張。

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這個擴張沒有非平凡自同構，因為任何自同構都將由 決定。但如上所述， 的值必須是 的根。由於 只有一個這樣的根，自同構必須固定它，也就是說，，因此 必須是恆等對映。