伽羅瓦群

令 為 的擴域，記作 ，令 為 的自同構集合，即 的自同構 集合，使得對於每個 中的 ，從而 被固定。則 是 的變換群，稱為 的伽羅瓦群。 的伽羅瓦群記作 或 。

令 為 次有理多項式，令 為 在 上的分裂域，即包含 的所有根的 的最小子域。那麼伽羅瓦群 的每個元素以唯一的方式置換 的根。因此， 可以被視為對稱群 的子群， 是 的根的置換群。如果 是不可約的，那麼 是 的傳遞子群，即給定 的兩個根 和 ，存在 的元素 使得 。

的根可以透過根式求解 當且僅當 是一個可解群。由於 的所有 的子群都是可解的，因此所有次數不超過 4 的多項式的根都可以透過根式求解。然而，次數為 5 或更高的多項式通常不能透過根式求解，因為對於 ，（以及交錯群 ）不是可解的。

逆伽羅瓦問題詢問是否每個有限群都同構於某個數域 的伽羅瓦群 。

的伽羅瓦群由單位元和複共軛組成。這些函式都將給定的實數對映到相同的實數。