伽羅瓦理論基本定理

對於 伽羅瓦擴張域 和 域 ，伽羅瓦理論基本定理指出，伽羅瓦群 的子群與包含 的 的子域相對應。如果子域 對應於子群 ，那麼 在 上的擴張域次數 是 的群的階，

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假設 ，那麼 和 對應於 的子群 和 ，使得 是 的子群。此外， 是 正規子群 當且僅當 是 伽羅瓦擴張域 時成立。由於 可分擴張 的任何子域（伽羅瓦擴張域 必然是可分擴張）也是可分的，因此 是伽羅瓦擴張 當且僅當 是 的正規擴張 時成立。所以正規擴張對應於正規子群。當 是正規子群時，則

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作為 在 上的群作用的商群。

根據基本定理，伽羅瓦群 的子群和包含 的 的子域之間存在一一對應關係。例如，對於上面顯示的數域 ， 的自同構（保持 固定）只有單位元、、 和 ，因此這些構成了伽羅瓦群 （由 和 生成）。特別是， 的生成元 和 如下： 將 對映到 ，將 對映到 ，並固定 ； 將 對映到 ，將 對映到 ，並固定 ；並且 將 對映到 ，將 對映到 ，並固定 。

例如，考慮伽羅瓦擴張域

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在 上，它具有六次的擴張域次數。也就是說，它是 rational 數域上的六維向量空間。