伽羅瓦擴張域

以下是伽羅瓦擴張域（也簡稱為伽羅瓦擴張） 在 上的等價定義。

1. 是一個可分多項式集合的分裂域。當 是有限擴張時，只需要一個可分多項式。

2. 中固定 的域自同構 不固定任何中間域 ，即 。

3. 每個在 上有根在 中的不可約多項式，在 中分解成線性因子。此外， 必須是 可分擴張。

4. 代數閉包 的 域自同構 ，對於它， 必須固定 。也就是說， 必須是 的域自同構，並固定 。此外， 必須是 可分擴張。

伽羅瓦擴張具有以上所有性質。例如，考慮 ，由虛數 附加到有理數 得到的域，它是一個伽羅瓦擴張。注意， 包含 的所有根，並且由它們生成，所以它是 的分裂域。當然， 中有兩個不同的根，所以它是可分的。唯一非平凡的自同構固定 ，由複共軛給出。

(1)

其固定域是 。唯一具有有理係數且根為 () 形式的不可約多項式是 () 和 。兩者都在 上分裂成線性因子。最後，代數閉包 是 中代數數的集合。給定代數數的自同構將 對映到自身，它必須固定 ，這是顯而易見的。一般來說，驗證所有這些性質並不那麼簡單，這使得它們的等價性很有用。

一個擴張不是伽羅瓦擴張有兩種可能的情況。一種情況是它不是正規擴張。例如， 不是正規的，因此也不是伽羅瓦的。它缺少 的復根。其唯一非平凡的自同構由 定義，它不僅固定 ，還固定了子域 。

另一種非伽羅瓦擴張的可能性是它不是可分的。這種域的域特徵必須是有限的，因為在特徵為零的情況下，所有多項式都是可分的。此外，所有有限域都是完美域，即所有代數擴張都是可分的。考慮係數在 中的有理函式域，它的大小是無限的，特徵為 2 ()。

(2)

以及擴張

(3)

例如， 和 。那麼 是 的分裂域，因為在特徵 2 中 ，所以它是正規擴張。然而， 不是可分的，因為 在其分裂域 中有重根。