唯一分解

在一個 整環 中，一個非零不可逆元素 分解為素（或不可約）因子的乘積

(1)

是唯一的，如果同類型的任何其他分解都具有相同數量的因子

(2)

並且其因子可以重新排列，使得對於所有索引 ， 和 相差一個可逆因子。

元素的素因子分解（如果存在）始終是唯一的，但這通常不適用於不可約因子分解：在環 中，

(3)

是兩個不同的不可約因子分解，沒有一個是素因子分解。 2 不是 中的素元素，因為它不能整除中間表示式的任何一個因子。 事實上，

(4)

都位於 之外。 此外，

(5)

這表明 也不是素數。

一個 整環，其中每個非零不可逆元素都允許唯一的不可約因子分解，稱為 唯一分解整環。