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Lehmer's Mahler 測度問題

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Lehmer's Mahler 測度問題是一個數學中的未解決的問題，歸因於 Lehmer (1933)，它關係到Mahler 測度 M_1(P) 的最小值，對於一個單變數多項式 P(x)，它不是分圓多項式的乘積。Lehmer (1933) 推測，如果 P(x) 是這樣一個整係數多項式，那麼

M_1(P)>=M_1(1-x+x^3-x^4+x^5-x^6+x^7-x^9+x^(10))
(1)
=m^*,
(2)

其中 m^* approx 1.1762, 用 Omega (Lehmer, 1933) 和 lambda (Hironaka, 2009) 表示，是這個多項式的最大正根。如上左圖所示，這個多項式的根非常特殊，因為 10 個根中有 8 個位於單位圓上，在複平面中。給出接下來兩個已知最小 Mahler 測度的多項式的根（用其係數的一半表示）也在上面進行了說明 (Mossinghoff 1998, p. S11)。

當前最佳界限是 Smyth (1971) 的結果，他證明了 M(F)>theta_1，其中 F 是一個非零非互反多項式，它不是分圓多項式的乘積 (Everest 1999)，並且 theta_1 approx 1.324 是 x^3-x-1=0 的實根。Lloyd-Smith (1985) 和 Dubickas (1997) 構建了 Smyth 結果的推廣。

MahlerMeasure

一般來說，最小的Mahler 測度出現在絕對值小的整係數多項式中。上面的直方圖顯示了隨機階數 1 到 10 的隨機 (-1,0,1)-多項式的測度分佈。Mossinghoff (1998) 給出了多項式次數高達 d=24 的已知最小 Mahler 測度的表格，並隨後證明了 m^* 是所有高達 40 次的多項式中大於 1 的最小Mahler 測度 (Mossinghoff, Hironaka 2009)。

m^* 是一個 Salem 常數。

另請參閱

Lehmer 數, Mahler 測度, Pisot 數, Salem 常數

本條目部分內容由 Kevin O'Bryant 貢獻

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參考文獻

Bailey, D. H. and Broadhurst, D. J. "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder." 20 Jun 1999. http://arxiv.org/abs/math.CA/9906134.Boyd, D. W. "Reciprocal Polynomials Having Small Measure." Math. Comput. 35, 1361-1377, 1980.Boyd, D. W. "Reciprocal Polynomials Having Small Measure. II." Math. Comput. 53, 355-357 and S1-S5, 1989.Dubickas, A. "Algebraic Conjugates Outside the Unit Circle." In New Trends in Probability and Statistics, Vol. 4: Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory. Proceedings of the 2nd International Conference held in Honor of J. Kubilius on His 75th Birthday in Palanga, September 23-27, 1996 (Ed. A. Laurinčikas, E. Manstavičius, and V. Stakenas). Utrecht, Netherlands: VSP, pp. 11-21, 1997.Everest, G. and Ward, T. Ch. 1 in Heights of Polynomials and Entropy in Algebraic Dynamics. London: Springer-Verlag, 1999.Hironaka, E. "What Is... Lehmer's Number." Not. Amer. Math. Soc. 56, 374-375, 2009.Lehmer, D. H. "Factorization of Certain Cyclotomic Functions." Ann. Math. 34, 461-469, 1933.Lloyd-Smith, C. W. "Algebraic Numbers Near the Unit Circle." Acta Arith. 45, 43-57, 1985.Mossinghoff, M. "Lehmer's Problem." http://oldweb.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/.Mossinghoff, M. J. "Polynomials with Small Mahler Measure." Math. Comput. 67, 1697-1705 and S11-S14, 1998.Smyth, C. J. "On the Product of the Conjugates Outside the Unit Circle of an Algebraic Integer." Bull. London Math. Soc. 3, 169-175, 1971.

引用

Lehmer's Mahler 測度問題

請引用為

O'Bryant, Kevin 和 Weisstein, Eric W. "Lehmer's Mahler 測度問題." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/LehmersMahlerMeasureProblem.html

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