帶隧道的球體

找到引力球體上兩點 和 之間的隧道，該隧道在重力作用下給出最短的 transit 時間。假設球體是非旋轉的，半徑為 ，且具有均勻密度 。那麼極座標系中的標準形式 Euler-Lagrange 微分方程是

(1)

以及邊界條件 、 、 和 。積分一次得到

(2)

但這是由半徑為 的圓在半徑為 的圓內滾動生成的擺線內旋輪線方程，因此隧道形狀像擺線內旋輪線的弧線。從點 到點 的 transit 時間是

(3)

其中

(4)

是表面重力，其中 是萬有引力常數。