最小曲面

最小曲面被定義為平均曲率為零的曲面。一個引數化為 的最小曲面因此滿足拉格朗日方程，

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(Gray 1997, p. 399).

尋找具有特定約束邊界的最小曲面是變分法中的一個問題，有時被稱為普拉託問題。最小曲面也可以被描述為在給定邊界條件下具有最小表面積的曲面。 平面是一個平凡的最小曲面，而第一個非平凡的例子（懸鏈面和螺旋麵）是由 Meusnier 在 1776 年發現的 (Meusnier 1785)。尋找斜四邊形的最小邊界曲面的問題由 Schwarz 在 1890 年解決 (Schwarz 1972)。

請注意，雖然球體在某種意義上是一個“最小曲面”，因為它最小化了表面積與體積的比率，但它不符合數學家使用的最小曲面的定義。

尤拉證明，當且僅當最小曲面在每一點的高斯曲率為零時，它才是平面的，因此它在區域性是鞍形的。一般情況解的存在性由 Douglas (1931) 和 Radó (1933) 獨立證明，儘管他們的分析不能排除奇點的可能性。Osserman (1970) 和 Gulliver (1973) 表明，最小化解不能有奇點。

200 年來已知的唯一完整的（無邊界的）、嵌入的（無自相交的）有限拓撲最小曲面是懸鏈面、螺旋麵和平面。Hoffman 發現了一個三端的虧格 1 最小嵌入曲面，並證明了存在無限多個這樣的曲面。也發現了四端的嵌入最小曲面。L. Bers 證明了單值引數化最小曲面的任何有限孤立奇點都是可移除的。

曲面可以使用等溫引數化進行引數化。如果座標函式 是調和的，即 是解析的，則這種引數化是最小的。因此，最小曲面可以由一組解析函式的三元組定義，使得

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然後，實引數化獲得為

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但是，對於一個解析函式 和一個亞純函式 ，函式的三元組

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是解析的。這給出了用 Enneper-Weierstrass 引數化表示的最小曲面

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一個被稱為“Karcher 的雅可比橢圓鞍形塔”的最小曲面出現在 1999 年 6 月/7 月號的美國數學會通告封面上 (Karcher and Palais 1999)。