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Scherk 最小曲面

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Scherk 的兩個最小曲面由 Scherk 於 1834 年發現。它們是自 1776 年 Meusnier 以來發現的首批新曲面。Séquin 展示了 Scherk 曲面木雕的美麗影像。

ScherksMinimalSurface1

Scherk 的第一個曲面是雙週期性的，由隱式方程定義

e^zcosy=cosx,
(1)

（Osserman 1986，Wells 1991，von Seggern 1993）。據觀察，它在嵌段共聚物的層中形成（Peterson 1988）。

ScherksMinimalSurface2

Scherk 的第二個曲面是由 Enneper-Weierstrass 引數化生成的曲面，其中

f=4/(1-z^4)
(2)
g=iz.
(3)

它可以引數化地寫成

x=2R[ln(1+re^(itheta))-ln(1-re^(itheta))]
(4)
=ln((1+r^2+2rcosphi)/(1+r^2-2rcosphi))
(5)
y=R[4itan^(-1)(re^(itheta))]
(6)
=((1+r^2-2rsinphi)/(1+r^2+2rsinphi))
(7)
z=R{2i(-ln[1-r^2e^(2itheta)]+ln[1+r^2e^(2itheta)])}
(8)
=2tan^(-1)[(2r^2sin(2phi))/(r^4-1)]
(9)

對於 theta in [0,2pi)，以及 r in (0,1)。使用此引數化，第一基本形式的係數為

E=(16(1+r^2)^2)/(1+r^8-2r^4cos(4phi))
(10)
F=0
(11)
G=(16r^2(1+r^2)^2)/(1+r^8-2r^4cos(4phi))
(12)

而第二基本形式的係數為

e=(8(1+r^4)sin(2phi))/(1+r^8-2r^4cos(4phi))
(13)
f=(8(1-r^4)cos(2phi))/(1+r^8-2r^4cos(4phi))
(14)
g=(8r^2(1+r^4)sin(2phi))/(1+r^8-2r^4cos(4phi)).
(15)

高斯曲率和平均曲率是

K=-(1+r^8-2r^4cos(4phi))/(4(1+r^2)^4)
(16)
H=0.
(17)

另請參閱

Enneper-Weierstrass 引數化，最小曲面

使用 探索

參考文獻

Dickson, S. "Minimal Surfaces." Mathematica J. 1, 38-40, 1990.do Carmo, M. P. Mathematical Models from the Collections of Universities and Museums (Ed. G. Fischer). Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 41, 1986.Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785.Osserman, R. A Survey of Minimal Surfaces. New York: Dover, pp. 18 and 101, 1986.Peterson, I. "Geometry for Segregating Polymers." Sci. News 134, 151, Sep. 3, 1988.Scherk, H. F. "Bemerkung über der kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen." J. reine angew. Math. 13, 185-208, 1834.Séquin, C. H. "Scherk-Collins Sculpture Generator." http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/scherk.html.Thomas, E. L.; Anderson, D. M.; Henkee, C. S.; and Hoffman, D. "Periodic Area-Minimizing Surfaces in Block Copolymers." Nature 334, 598-601, 1988.von Seggern, D. CRC Standard Curves and Surfaces. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 304, 1993.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 223, 1991. , Inc. "Mathematica Version 2.0 Graphics Gallery." http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/4664/.

請引用為

Weisstein, Eric W. "Scherk 最小曲面。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/ScherksMinimalSurfaces.html

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