正定矩陣

一個 復矩陣 被稱為正定矩陣，如果

(1)

對於所有非零復向量 ，其中 表示 共軛轉置，向量 的共軛轉置。 在 實矩陣 的情況下，方程 (1) 簡化為

(2)

其中 表示 轉置。 正定矩陣在各種應用中都具有理論和計算上的重要性。 例如，它們被用於最佳化演算法和各種 線性迴歸 模型的構建中 (Johnson 1970)。

可以使用 Wolfram 語言 測試矩陣 是否為正定矩陣，使用PositiveDefiniteMatrixQ[m].

具有正定矩陣的線性方程組可以使用所謂的 Cholesky 分解 有效地求解。 正定矩陣至少有一個矩陣平方根。 此外，其矩陣平方根中恰好有一個本身是正定的。

一個 復矩陣 為正定矩陣的必要和充分條件是其 Hermitian 部分

(3)

其中 表示 共軛轉置，為正定矩陣。 這意味著 實矩陣 是正定矩陣當且僅當其 對稱部分

(4)

其中 是轉置，為正定矩陣 (Johnson 1970)。

容易混淆的是，正定矩陣的討論通常僅限於 Hermitian 矩陣，或者在實矩陣的情況下僅限於對稱矩陣（Pease 1965, Johnson 1970, Marcus and Minc 1988, p. 182; Marcus and Minc 1992, p. 69; Golub and Van Loan 1996, p. 140）。 Hermitian（或對稱）矩陣是正定矩陣當且僅當其所有特徵值均為正數。 因此，一般的復（或實）矩陣是正定的，當且僅當其 Hermitian（或對稱）部分具有所有正特徵值。

正定矩陣的行列式始終為正數，因此正定矩陣始終是非奇異的。

如果 和 是正定矩陣，則 也是正定矩陣。 正定矩陣的矩陣逆也是正定的。

正定性的定義等價於要求與所有左上子矩陣相關的行列式都是正數。

以下是 Hermitian 矩陣 （根據定義，它具有實對角元素 ）為正定矩陣的必要（但非充分）條件。

1. 對於所有 ，

2. 對於 ，

3. 絕對值最大的元素位於主對角線上，

4. .

這裡， 是 的實部，並且 Gradshteyn 和 Ryzhik (2000, p. 1063) 中的一個排版錯誤已在專案 (ii) 中更正。

一個 實 對稱矩陣 是正定的 當且僅當 存在一個 實 非奇異矩陣 使得

(5)

其中 是轉置 (Ayres 1962, p. 134)。 特別是，一個 對稱矩陣

(6)

是正定的，如果

(7)

對於所有 。

給定型別的正定 矩陣的數量總結在下表中。 例如，三個正定 (0,1)-矩陣 是

(8)

所有這些矩陣的特徵值都為 1，且簡併度為 2。