主題
Search

Sine-Gordon 方程

下載 Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook

一種偏微分方程，出現在微分幾何和相對論場論中。它的名字是根據其與Klein-Gordon 方程的相似形式而起的文字遊戲。該方程以及幾種求解技術在 19 世紀就已為人所知，但當人們意識到它導致具有孤子碰撞性質的解（“扭結”和“反扭結”）（Perring 和 Skyrme 1962；Tabor 1989，第 307 頁）時，該方程的重要性大大增加。Sine-Gordon 方程也出現在許多其他物理應用中（Barone 1971；Gibbon 等人 1979；Bishop 和 Schneider 1981；Davydov 1985；Infeld 和 Rowlands 2000，第 202 頁和 240 頁），包括約瑟夫森結（兩個超導體之間的連線）中磁通量的傳播、連線到拉緊導線的剛性擺的運動以及晶體中的位錯。

Sine-Gordon 方程是

v_(tt)-v_(xx)+sinv=0,
(1)

其中 v_(tt) 和 v_(xx) 是偏導數（Infeld 和 Rowlands 2000，第 199 頁）。

所謂的雙 Sine-Gordon 方程由下式給出

u_(xt)+/-[sinu+etasin(1/2u)]=0
(2)

(Calogero 和 Degasperis 1982，第 135 頁；Zwillinger 1995，第 135 頁)。

該方程可以透過定義來變換

xi=1/2(x-t)
(3)
eta=1/2(x+t).
(4)

然後，根據鏈式法則，

partial/(partialx)=(partialxi)/(partialx)partial/(partialxi)+(partialeta)/(partialx)partial/(partialeta)
(5)
=1/2(partial/(partialxi)+partial/(partialeta))
(6)
partial/(partialt)=(partialxi)/(partialt)partial/(partialxi)+(partialeta)/(partialt)partial/(partialeta)
(7)
=1/2(partial/(partialeta)-partial/(partialxi)).
(8)

這給出

(partial^2v)/(partialx^2)=1/4(partial/(partialxi)+partial/(partialeta))((partialv)/(partialxi)+(partialv)/(partialeta))
(9)
=1/4((partial^2v)/(partialxi^2)+2(partial^2v)/(partialxipartialeta)+(partial^2v)/(partialeta^2))
(10)
(partial^2v)/(partialt^2)=1/4(partial/(partialeta)-partial/(partialxi))((partialv)/(partialeta)-(partialv)/(partialxi))
(11)
=1/4((partial^2v)/(partialxi^2)-2(partial^2v)/(partialxipartialeta)+(partial^2v)/(partialeta^2)).
(12)

代入得到

v_(xieta)=sinv.
(13)

Sine-Gordon 方程的另一個解是透過代入 v(xi,eta)=f(z) 給出，其中 z=xieta，得到常微分方程

zf^('')+f^'=sinf.
(14)

然而，這無法解析求解，因為令 g=e^(if) 得到

g^('')-(g^('2))/g+(2g^'-g^2+1)/(2z)=0,
(15)

這是第三類 Painlevé 超越函式（Tabor 1989，第 309 頁）。

雖然該方程不能在所有一般性情況下求解，但可以透過假設解的形式為 ansatz，即解的形式為 of the form

v(x,t)=4tan^(-1)[(phi(x))/(psi(t))].
(16)

這可以從物理上解釋，因為恆等式

tan^(-1)theta={-1/2pi-tan^(-1)(1/theta) for theta<0; 1/2pi-tan^(-1)(1/theta) for theta>0
(17)

意味著交換空間和時間變數可以保留解，正如 Sine-Gordon 方程 (1) 的對稱性所要求的那樣。（儘管因子 4 的原因尚不完全清楚。）

將假設 (16) 代入 Sine-Gordon 方程 (1) 得到

(psi^2)/phiphi_(xx)+(phi^2)/psipsi_(tt)=(psi^2+2psi_t^2-psipsi_(tt))+(-phi^2+2phi_x^2-phiphi_(xx))
(18)

（Lamb 1980；Infeld 和 Rowlands 2000，第 199-200 頁，更正了錯別字）。由於右側包含兩項，一項僅依賴於 t，另一項僅依賴於 x，因此可以透過對兩側分別對 x 和 t 求導來消除它。這樣做並將結果除以 -2psipsi_tphiphi_x 得到

((phi_(xxx))/(phi^2phi_x)-(phi_(xx))/(phi^3))+((psi_(ttt))/(psi^2psi_t)-(psi_(tt))/(psi^3))=0,
(19)

這可以寫成稍微簡單的形式

((phi_(xx)/phi)_x)/(phiphi_x)+((psi_(tt)/psi)_t)/(psipsi_t)=0.
(20)

由於左項僅依賴於 x，而右項僅依賴於 t，因此可以使用變數分離法來寫成

((phi_(xx)/phi)_x)/(phiphi_x)=-((psi_(tt)/psi)_t)/(psipsi_t)=-6k^2,
(21)

其中分離常數假定為正數。重寫這兩個方程得到

d/(dx)((phi_(xx))/phi)=-6k^2phiphi_x d/(dt)((psi_(tt))/psi)=6k^2psipsi_t.
(22)

這些可以直接積分得到

(phi_(xx))/phi=-3k^2phi^2+m (psi_(tt))/psi=3k^2psi^2+sqrt(m^2-1),
(23)

其中 m 和 sqrt(m^2-1) 是積分常數，它們透過方程 (◇) 連線。清除分母，

phi_(xx)=-3k^2phi^3+mphi psi_(tt)=3k^2psi^3+sqrt(m^2-1)psi.
(24)

具有上述分離的 Sine-Gordon 方程的最終形式為

phi_x=-k^2phi^3+mphi+n^2
(25)
psi_t=k^2psi^3+sqrt(m^2-1)psi-n^2
(26)

（Infeld 和 Rowlands 2000，第 200 頁，更正了錯別字），其中 n^2 是另一個積分常數。這些方程通常可以用第一類不完全橢圓積分 F(phi,k) 來求解，但可以透過選擇特別簡單的積分常數值來研究有趣的解類。

SineGordonKink

透過取 k=n=0 和 m>1 獲得單孤子解，在這種情況下，方程具有以下解

phi(x)=e^(mx)
(27)
psi(t)=e^(tsqrt(m^2-1)).
(28)

代入方程 (◇) 得到

v=4tan^(-1)((e^(mx))/(e^(tsqrt(m^2-1))))
(29)
=4tan^(-1){exp[m(x-(sqrt(m^2-1))/mt)]}
(30)
=4tan^(-1)[exp((x-betat)/(sqrt(1-beta^2)))],
(31)

其中 beta 已定義為

beta=(sqrt(m^2-1))/m.
(32)

如果 m 用負號定義，則會得到相同的解，但用 -x 代替 +x。正解是孤子，也稱為“扭結解”，而負解是反孤子，也稱為“反扭結解”（Tabor 1989，第 306-307 頁；Infeld 和 Rowlands 2000，第 200 頁）。

存在 k=0, m>1 的雙孤子解

v=4tan^(-1)[(betasinh(betamx))/(cosh(betamt))]
(33)

（Infeld 和 Rowlands 2000，第 200 頁）。

雙扭結解由下式給出

v=4tan^(-1)[(msinh(x/(sqrt(1-m^2))))/(betacosh((mt)/(sqrt(1-m^2))))]
(34)

（Perring 和 Skyrme 1962；Drazin 1988；Tabor 1989，第 307-308 頁）。

當 k!=0, n=0, m^2<1 時，會出現“呼吸子”解

v=-4tan^(-1)[m/(sqrt(1-m^2))(sin(sqrt(1-m^2)t))/(cosh(mx))].
(35)

對於固定的 x,v，這是 t 的週期函式，頻率為 2pi/sqrt(1-m^2)（Infeld 和 Rowlands 2000，第 200-201 頁）。

另請參閱

Klein-Gordon 方程, Sinh-Gordon 方程, 孤子

使用 探索

參考文獻

Baker, H. F. Abelian Functions: Abel's Theorem and the Allied Theory, Including the Theory of the Theta Functions. New York: Cambridge University Press, p. xix, 1995.Barone, A.; Esposito, F.; Magee, C. J.; and Scott, A. C. "Theory and Applications of the Sine-Gordon Equation." Riv. Nuovo Cim. 1, 227-267, 1971.Bishop, A. R. and Schneider, T. (Eds.). Solitons and Condensed Matter Physics: Proceedings of a Symposium Held June 19-27, 1978. Berlin: Springer-Verlag, 1981.Calogero, F. and Degasperis, A. Spectral Transform and Solitons: Tools to Solve and Investigate Nonlinear Evolution Equations. New York: North-Holland, 1982.Davydov, A. S. Solitons in Molecular Systems. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1985.Drazin, P. G. and Johnson, R. S. Solitons: An Introduction. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1988.Gibbon, J. D.; James, I. N.; and Moroz, I. M. "The Sine-Gordon Equation as a Model for a Rapidly Rotating Baroclinic Fluid." Phys. Script. 20, 402-408, 1979.Infeld, E. and Rowlands, G. Nonlinear Waves, Solitons, and Chaos, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2000.Kaup, D. J. "Method for Solving the Sine-Gordon Equation in Laboratory Coordinates." Stud. Appl. Math. 54, 165-179, 1975.Lamb, G. L. Jr. Elements of Soliton Theory. New York: Wiley, 1980.Perring, J. K. and Skyrme, T. H. R. "A Model Unified Field Equation." Nucl. Phys. 31, 550-555, 1962.Tabor, M. "The Sine-Gordon Equation." §7.5.b in Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction. New York: Wiley, pp. 305-309, 1989.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 417, 1995.

在 上被引用

Sine-Gordon 方程

請這樣引用

Weisstein, Eric W. “Sine-Gordon 方程。” 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Sine-GordonEquation.html

主題分類