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熱傳導方程

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一個 偏微分 擴散方程，形式為

(partialU)/(partialt)=kappadel ^2U.
(1)

在物理上，該方程通常出現在以下情況中：kappa 是熱擴散率，U 是溫度。

一維熱傳導方程為

(partialU)/(partialt)=kappa(partial^2U)/(partialx^2).
(2)

這可以使用分離變數法求解，使用

U(x,t)=X(x)T(t).
(3)

那麼

X(dT)/(dt)=kappaT(d^2X)/(dx^2).
(4)

兩邊同除以 kappaXT 得到

1/(kappaT)(dT)/(dt)=1/X(d^2X)/(dx^2)=-1/(lambda^2),
(5)

其中每一側必須等於一個常數。 考慮到 T 中的指數解，我們選擇了一個負分離常數，以便解在所有時間都保持有限，並且 lambda 的單位是長度。T 的解是

T(t)=Ae^(-kappat/lambda^2),
(6)

而 X 的解是

X(x)=Bcos(x/lambda)+Csin(x/lambda).
(7)

通解然後為

U(x,t)=T(t)X(x)
(8)
=Ae^(-kappat/lambda^2)[Bcos(x/lambda)+Csin(x/lambda)]
(9)
=e^(-kappat/lambda^2)[Dcos(x/lambda)+Esin(x/lambda)].
(10)

如果我們給定邊界條件

U(0,t)=0
(11)

和

U(L,t)=0,
(12)

那麼將 (11) 應用於 (10) 得到

Dcos(x/lambda)=0=>D=0,
(13)

並將 (12) 應用於 (10) 得到

Esin(L/lambda)=0=>L/lambda=npi=>lambda=L/(npi),
(14)

因此 (10) 變為

U_n(x,t)=E_ne^(-kappa(npi/L)^2t)sin((npix)/L).
(15)

由於通解可以有任何 n，

U(x,t)=sum_(n=1)^inftyc_nsin((npix)/L)e^(-kappa(npi/L)^2t).
(16)

現在，如果我們給定初始條件 U(x,0)，我們有

U(x,0)=sum_(n=1)^inftyc_nsin((npix)/L).
(17)

兩邊同時乘以 sin(mpix/L) 並從 0 到 L 積分得到

int_0^Lsin((mpix)/L)U(x,0)dx=int_0^Lsum_(n=1)^inftyc_nsin((mpix)/L)sin((npix)/L)dx.
(18)

使用 sin(nx) 和 sin(mx) 的正交性，

sum_(n=1)^(infty)c_nint_0^Lsin((npix)/L)sin((mpix)/L)dx=sum_(n=1)^(infty)1/2Ldelta_(mn)c_n
(19)
=L/2c_m
(20)
=int_0^Lsin((mpix)/L)U(x,0)dx,
(21)

因此

c_m=2/Lint_0^Lsin((mpix)/L)U(x,0)dx.
(22)

如果邊界條件被溫度導數在邊緣處為零的要求取代，則 (◇) 和 (◇) 被替換為

(partialU)/(partialx)|_((0,t))=0
(23)
(partialU)/(partialx)|_((L,t))=0.
(24)

按照與之前相同的步驟，可以找到類似的答案，但正弦被餘弦取代

U(x,t)=1/2c_0+sum_(n=1)^inftyc_ncos((npix)/L)e^(-kappa(npi/L)^2t),
(25)

其中

c_n=2/Lint_0^Lcos((mpix)/L)U(x,0)dx.
(26)

另請參閱

熱傳導方程--圓盤

使用 探索

請引用為

Weisstein, Eric W. “熱傳導方程。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HeatConductionEquation.html

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