科爾特韋格-德弗里斯方程

偏微分方程

(1)

（Lamb 1980; Zwillinger 1997, p. 175），常縮寫為“KdV”。這是方程的無量綱化版本

(2)

由 Korteweg 和 de Vries (1895) 推導得出，描述了弱非線性淺水波。這裡，， 是通道高度， 是表面張力， 是重力加速度，以及 是密度。該方程被發現具有孤立波解，證實了 Russell 在 1834 年 8 月對孤立通道波的觀察結果（Russell 1844），這比發現早了 51 年。

鮮為人知的事實是，科爾特韋格-德弗里斯方程的第一個虧格-2 解是由 Baker (1907; Previato 2004) 給出的。

Zabusky 和 Kruskal (1965) 隨後研究了費米-帕斯塔-烏拉姆實驗的連續極限，並出人意料地獲得了科爾特韋格-德弗里斯方程。他們發現孤立波解的行為類似於疊加原理，儘管波本身是高度非線性的。他們將這種波稱為孤子，並著手為它們設計新的求解技術（Miura et al. 1968）。Miura et al. (1968) 發現了九個守恆定律，而 Miura (1968) 發現了第十個，暗示可能存在無限數量的守恆量（Tabor 1989, p. 288）。事實上，Gardner 提出的變換提供了一種演算法，用於計算 KdV 方程的無限數量的守恆密度，這些密度透過 Miura 變換與所謂的修正 KdV 方程的守恆密度相關聯

(3)

（Tabor 1989, p. 291）。科爾特韋格-德弗里斯方程也表現出伽利略不變性。

KdV 方程求解的重要一步是由 Gardner et al. (1967) 提供的，他們提出可以透過勢 的一維薛定諤方程的性質來研究它

(4)

透過在 (3) 中進行變數替換並使用伽利略不變性獲得。如果相應的量子力學反散射問題（即，從相關的量子力學性質——稱為散射資料——到勢）可以解決，那麼 的演化就可以重建，而無需實際求解 KdV 方程（Tabor 1989, pp. 291-292）。雖然這個過程聽起來很複雜，實際上只能針對相當特殊的情況精確求解，但它可以被視為更復雜的逆傅立葉變換的類似物（結果被稱為反散射變換）。使用反散射變換，可以獲得 -孤子解。

Lax (1968) 表明 KdV 方程等價於所謂的“等譜可積條件”，用於線性運算元對，稱為 Lax 對（Tabor 1989, p. 304）。

所謂的廣義 KdV 方程由下式給出

(5)

（Boyd 1986; Zwillinger 1997, p. 175）。所謂的變形 KdV 方程由下式給出

(6)

（Dodd 和 Fordy 1983; Zwillinger 1997, p. 178），修正 KdV 方程由下式給出

(7)

（Calogero 和 Degasperis 1982, p. 51; Tabor 1989, p. 304; Zwillinger 1997, p. 178），或者

(8)

（Dodd 和 Fordy 1983; Zwillinger 1997, p. 178）。

柱狀 KdV 方程由下式給出

(9)

（Calogero 和 Degasperis 1982, p. 50; Zwillinger 1997, p. 175），球狀 KdV 方程由下式給出

(10)

（Calogero 和 Degasperis 1982, p. 51; Zwillinger 1997, p. 175）。