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雙調和方程

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透過應用雙調和運算元並設為零得到的微分方程

del ^4phi=0.
(1)

在笛卡爾座標中，雙調和方程是

del ^4phi=del ^2(del ^2)phi
(2)
=((partial^2)/(partialx^2)+(partial^2)/(partialy^2)+(partial^2)/(partialz^2))((partial^2)/(partialx^2)+(partial^2)/(partialy^2)+(partial^2)/(partialz^2))phi
(3)
=(partial^4phi)/(partialx^4)+(partial^4phi)/(partialy^4)+(partial^4phi)/(partialz^4)+2(partial^4phi)/(partialx^2partialy^2)+2(partial^4phi)/(partialy^2partialz^2)+2(partial^4phi)/(partialx^2partialz^2)
(4)
=0.
(5)

在極座標中 (Kaplan 1984, p. 148)

del ^4phi=phi_(rrrr)+2/(r^2)phi_(rrthetatheta)+1/(r^4)phi_(thetathetathetatheta)+2/rphi_(rrr)-2/(r^3)phi_(rthetatheta)-1/(r^2)phi_(rr)+4/(r^4)phi_(thetatheta)+1/(r^3)phi_r=0.
(6)

對於徑向函式 phi(r)，雙調和方程變為

del ^4phi=1/rd/(dr){rd/(dr)[1/rd/(dr)(r(dphi)/(dr))]}
(7)
=phi_(rrrr)+2/rphi_(rrr)-1/(r^2)phi_(rr)+1/(r^3)phi_r=0.
(8)

齊次方程的解是

phi(r)=1/4r^2(2C_2-C_3)+C_4+(C_1+1/2r^2C_3)lnr.
(9)

齊次雙調和方程可以在二維雙極座標中分離和求解。

非齊次方程的解

del ^4phi=64beta
(10)

由下式給出

phi(r)=betar^4+1/4r^2(2C_2-C_3)+C_4+(C_1+1/2r^2C_3)lnr.
(11)

另請參閱

雙調和運算元, 薄板樣條, 馮·卡門方程

使用 探索

參考文獻

Kantorovich, L. V. and Krylov, V. I. 高等分析的近似方法。 New York: Interscience, 1958.Kaplan, W. 高等微積分，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, 1984.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 標準數學表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 417, 1995.Zwillinger, D. 微分方程手冊，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, p. 129, 1997.

在 中被引用

雙調和方程

引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "雙調和方程。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/BiharmonicEquation.html

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