一般來說，格林函式是一個積分核，可用於求解大量方程族的微分方程，包括更簡單的示例，例如具有初始或邊界值條件的常微分方程，以及更困難的示例，例如具有邊界條件的非齊次偏微分方程 (PDE)。 格林函式因其諸多重要原因，允許對與力源或集中於一點的電荷相關的動作進行視覺化解釋（Qin 2014），因此使其在應用數學領域中特別有用。 特別是，格林函式方法廣泛應用於物理學和工程學等領域。
更準確地說，給定一個作用於子集 
上分佈集合的線性微分運算元 
，其中 是某個歐幾里得空間 
的子集，則在點 
處對應於 
的格林函式 
是以下方程的任何解
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(1)
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其中 
表示 delta 函式。 定義這樣一個函式的動機很廣泛，但是透過將上述恆等式乘以函式 
並關於 
進行積分，得到
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(2)
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由於 delta 函式的性質，右手邊僅簡化為 
，並且由於 
是僅作用於 
而不作用於 
的線性運算元，因此左手邊可以重寫為
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(3)
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當求解形式為以下形式的微分方程中的 
時，這種簡化特別有用
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(4)
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其中上述算術證實了
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(5)
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由此得出 
具有特定的積分形式
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(6)
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上圖說明了格林函式的直觀物理意義，以及一個相對簡單的相關微分方程，可用於與上述定義進行比較（Hartmann 2013）。 特別是，它顯示了一根長度為 
的繃緊繩索，懸掛在兩壁之間，並透過施加在其兩端的相同的水平力 
和放置在繩索上某個內部點 
的橫向載荷 
固定到位。 令 
為對應於撓曲繩索上 
的點，假設向下的力 
是恆定的，例如 
，並令 
表示繩索的撓度。 對應於這個物理系統的是微分方程
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(7)
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對於 
，其中 
，該系統的簡單性允許顯式地寫出其解 
及其格林函式 
。
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(8)
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和
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(9)
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分別地。 如上圖所示，位移繩索具有 
給出的分段線性格式，從而證實了格林函式 
與此係統相關的宣告，它表示水平繩索對應於力 
的應用的作用。
取一對引數 
的格林函式有時被稱為兩點格林函式。 這與多點格林函式形成對比，後者在多體理論領域中尤為重要。
作為上述定義的兩點函式的初等示例，考慮確定由電荷密度為 
的電荷分佈生成的勢 
的問題，由此將泊松方程和庫侖定律應用於由每個電荷元 
在 
處產生的勢，得到解
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(10)
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在某些條件下，該解在 
的區域內成立。 因為右手邊可以被視為將 
轉換為 
的積分運算元，所以可以根據格林函式 
重寫此解，該格林函式具有以下形式
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(11)
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由此可以將解重寫為
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(12)
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（Arfken 2012）。
上圖顯示了與上述討論的 
-
方程的解相關的格林函式，其中在此處，
和 
，分別 
，繪製在 
-，分別 
- 軸上。
Kevin Cole (Cole 2000) 線上維護著一個相當全面的與各種微分方程相對應的格林函式列表。
由於關於格林函式的文獻眾多，因此可能會出現幾種不同的符號和定義，其中一些在主題上與上述不同，但通常不會影響結果的重要屬性。 例如，如上例所示，一些作者更喜歡用向量 
和 
來表示變數 
和 
，以強調它們是 
的元素，其中 
可能大於 1 (Arfken 1985)。 也很常見到帶有負號的定義，使得 
被定義為滿足以下條件的函式
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(13)
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但由於這種純粹的物理考慮對基礎數學沒有影響，因此通常會忽略這一點。 格林函式也已知存在其他幾種符號，其中一些符號包括使用小寫 
代替 
(Stakgold 1979)，以及包含豎線而不是逗號，例如，
(Duffy 2001)。
在其他情況下，文獻中提出的定義與它們呈現的上下文密切相關。 例如，一些作者將格林函式定義為滿足某些條件集（例如，在特定型別的域上存在、與非常特定的微分運算元 
關聯或滿足精確的邊界條件集）的函式。 最常見的此類示例之一可以在 Speck 等人的筆記中找到，其中格林函式被定義為滿足 
，對於點 
和 對於所有位於 
的邊界 
中的點 
，
(Speck 2011)。 這個特殊的定義提出了一個積分核，對應於廣義泊松方程的解，因此在適應更一般的設定時將面臨明顯的侷限性。 另一方面，這樣的例子並非沒有好處。 例如，在上述廣義泊松示例中，每個這樣的格林函式 
都可以拆分，使得
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其中 
和 對於常規拉普拉斯運算元 
，
(Hartman 2013)。 在這種情況下，
被稱為底層微分方程的基本解，
被稱為其正則解； 因此，
和 
有時分別稱為 
的基本部分和正則部分。
一般格林函式的幾個基本性質直接（或幾乎直接）從其定義中得出，並適用於所有特定例項。 例如，如果運算元 
的核是非平凡的，則可能存在與單個運算元相關的多個格林函式； 因此，在提到“格林函式”時必須謹慎。 格林函式在其兩個引數中滿足伴隨對稱性，使得
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其中此處，
被定義為方程的解
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(16)
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此處，
是 
的伴隨運算元。 這個事實的一個直接推論是，對於自伴隨運算元 
，
是對稱的
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這個恆等式通常稱為互易原理，用物理術語來說，它表示由 
處的單位源引起的 
處的響應與由 
處的單位力引起的 
處的響應相同 (Stakgold 1979)。
任何格林函式的基本屬性是，它提供了一種描述任意微分方程解對某些邊界條件存在下某種源項的響應的方法（Arfken et al. 2012）。 一些作者認為，格林函式在偏微分方程理論中起著與 傅立葉級數 在常微分方程解中大致相似的作用（Mikula 和 Kos 2006）。
對於更抽象的場景，存在許多概念，這些概念充當格林函式概念的特定於上下文的類似物。 例如，在泛函分析中，考慮所謂的廣義格林函式通常很有用，當抽象地對泛函而不是函式進行積分時，它具有許多類似的性質。 實際上，這種概括已經產生了理論 PDE 分析的完全類似的branch，並且它們本身就是大量研究的焦點。
