格林函式--泊松方程

泊松方程是

(1)

其中 通常被稱為勢函式，而 被稱為密度函式，因此在這種情況下，微分算符是 。 像往常一樣，我們正在尋找格林函式 使得

(2)

但從 拉普拉斯運算元，

(3)

所以

(4)

解是

(5)

在 球諧函式 中展開 得到

(6)

其中 和 是 大於/小於符號。 這個表示式簡化為

(7)

其中 是 勒讓德多項式，並且 。 方程 (6) 和 (7) 給出了 勒讓德多項式 的加法定理。

在 圓柱座標 中，格林函式要複雜得多，

(8)

其中 和 是 第一類修正貝塞爾函式 和 第二類 （Arfken 1985）。