非齊次亥姆霍茲微分方程為
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(1)
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其中亥姆霍茲算符定義為 
。格林函式則定義為
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(2)
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定義基函式 
為齊次亥姆霍茲微分方程的解
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(3)
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格林函式可以根據 
s 展開，
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(4)
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以及狄拉克δ函式為
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(5)
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將 (◇) 和 (◇) 代入 (◇) 得到
![del ^2[sum_(n=0)^inftya_n(r_2)phi_n(r_1)]+k^2sum_(n=0)^inftya_n(r_2)phi_n(r_1)=sum_(n=0)^inftyphi_n(r_1)phi_n(r_2).](/images/equations/GreensFunctionHelmholtzDifferentialEquation/NumberedEquation6.svg) |
(6)
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使用 (◇) 得到
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(7)
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(8)
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此方程必須對每個 
都成立，因此
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(9)
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(10)
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並且 (◇) 可以寫成
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(11)
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因此，(◇) 的通解是
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(12)
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(13)
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