自伴

考慮一個二階微分運算元

(1)

其中 和 是 實函式，變數為 ，定義在感興趣的區域 上，具有 階連續導數，並且在 於 上成立。 這意味著在 中沒有奇點。然後伴隨運算元 被定義為

			(2)
			(3)

為了使運算元是自伴的，即

(4)

（◇）和（◇）中的第二項必須相等，因此

(5)

這也保證了第三項是相等的，因為

(6)

因此（◇）變為

			(7)
			(8)
			(9)

對應於勒讓德微分方程和簡諧運動方程的微分運算元是自伴的，而對應於拉蓋爾微分方程和埃爾米特微分方程的微分運算元則不是。

一個非自伴二階線性微分運算元總是可以使用Sturm-Liouville 理論變換成自伴的。在特殊情況 下，（9）給出

(10)

(11)

(12)

(13)

其中 是一個積分常數。

一個滿足邊界條件的自伴運算元

(14)

自動是一個埃爾米特運算元。