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厄米算符

二階線性厄米算符是一個 算符 L^~，它滿足

int_a^bv^_L^~udx=int_a^buL^~v^_dx.
(1)

其中 z^_ 表示 複共軛。正如 Sturm-Liouville 理論中所示，如果 L^~ 是 自伴 的，並且滿足邊界條件

v^_pu^'|_(x=a)=v^_pu^'|_(x=b),
(2)

那麼它自動是厄米的。

厄米算符具有 實 特徵值、正交 特徵函式，並且當 L^~ 是二階線性的，對應的 特徵函式 形成一個 完全雙正交系統。

請注意，厄米算符的概念在量子力學中有所擴充套件，適用於不需要是二階微分或實的算符。簡單地假設邊界條件在無窮遠處充分強烈地消失或具有周期性行為，就允許算符 L^~ 在這種擴充套件意義上是厄米的，如果

intpsi^__1L^~psi_2dtau=intL^~psi_1^_psi_2dtau,
(3)

這與之前的定義相同，只是量被擴充套件為複數 (Arfken 1985, p. 506)。

為了證明 特徵值 必須是 實數 並且 特徵函式 是 正交的，考慮

L^~u_i+lambda_iwu_i=0.
(4)

假設存在第二個 特徵值 lambda_j 使得

L^~u_j+lambda_jwu_j=0
(5)
L^~u^__j+lambda^__jwu^__j=0.
(6)

現在將 (4) 乘以 u^__j，將 (6) 乘以 u_i

u^__jL^~u_i+u^__jlambda_iwu_i=0
(7)
u_iL^~u^__j+u_ilambda^__jwu^__j=0
(8)
u^__jL^~u_i-u_iL^~u^__j=(lambda^__j-lambda_i)wu_iu^__j.
(9)

現在積分

int_a^bu^__jL^~u_i-int_a^bu_iL^~u^__j=(lambda^__j-lambda_i)int_a^bwu_iu^__j.
(10)

但是因為 L^~ 是厄米的，左邊消失了。

(lambda^__j-lambda_i)int_a^bwu_iu^__j=0.
(11)

如果 特徵值 lambda_i 和 lambda_j 不是簡併的，那麼 int_a^bwu_iu^__j=0，所以 特徵函式 是 正交的。如果 特徵值 是簡併的，則 特徵函式 不一定是正交的。現在取 i=j。

(lambda^__i-lambda_i)int_a^bwu_iu^__i=0.
(12)

除非 u_i=0，否則積分不能消失，所以我們有 lambda^__i=lambda_i 並且 特徵值 是實數。

對於厄米算符 O^~，

<phi|O^~psi>=<phi|O^~psi>^_=<O^~phi|psi>.
(13)

在積分表示法中，

intA^~phi^_psidx=intphi^_A^~psidx.
(14)

給定厄米算符 A^~ 和 B^~，

<phi|A^~B^~psi>=<A^~phi|B^~psi>=<B^~A^~phi|psi>=<phi|B^~A^~psi>^_.
(15)

因為，對於具有 特徵值 a 的厄米算符 A^~，

<psi|A^~psi>=<A^~psi|psi>
(16)
a<psi|psi>=a^_<psi|psi>.
(17)

因此，要麼 <psi|psi>=0，要麼 a=a^_。但是 <psi|psi>=0 當且僅當 psi=0，所以

<psi|psi>!=0,
(18)

對於非平凡的 特徵函式。這意味著 a=a^|，即厄米算符產生 實 期望值。因此，每個可觀測量都必須有一個對應的厄米算符。此外，

<psi_n|A^~psi_m>=<A^~psi_n|psi_m>
(19)
a_m<psi_n|psi_m>=a^__n<psi_n|psi_m>=a_n<psi_n|psi_m>,
(20)

因為 a_n=a^__n。那麼

(a_m-a_n)<psi_n|psi_m>=0
(21)

對於 a_m!=a_n (即，psi_n!=psi_m)，

<psi_n|psi_m>=0.
(22)

對於 a_m=a_n (即，psi_n=psi_m)，

<psi_n|psi_m>=<psi_n|psi_n>=1.
(23)

因此，

<psi_n|psi_m>=delta_(nm),
(24)

因此，對應於厄米算符的 特徵函式 基是 正交歸一的。

透過以下方式定義 伴隨 算符 A^~^|（也稱為厄米共軛算符）

<A^~psi|psi>=<psi|A^~^|psi>.
(25)

對於厄米算符，

A^~=A^~^|.
(26)

此外，給定兩個厄米算符 A^~ 和 B^~，

<psi_2|(A^~B^~)^|psi_1>=<(A^~B^~)psi_2|psi_1>
(27)
=<B^~psi_2|A^~^|psi_1>
(28)
=<psi_2|B^~^|A^~^|psi_1>,
(29)

所以

(A^~B^~)^|=B^~^|A^~^|.
(30)

透過進一步迭代，這可以推廣到

(A^~B^~...Z^~)^|=Z^~^|...B^~^|A^~^|.
(31)

給定兩個厄米算符 A^~ 和 B^~，

(A^~B^~)^|=B^~^|A^~^|=B^~A^~=A^~B^~+[B^~,A^~],
(32)

算符 A^~B^~ 等於 (A^~B^~)^|，因此是厄米的，僅當

[B^~,A^~]=0.
(33)

給定一個任意算符 A^~，

<psi_1|(A^~+A^~^|)psi_2>=<(A^~^|+A^~)psi_1|psi_2>
(34)
=<(A^~+A^~^|)psi_1|psi_2>,
(35)

所以 A^~+A^~^| 是厄米的。

<psi_1|i(A^~-A^~^|)psi_2>=<-i(A^~^|-A^~)psi_1|psi_2>
(36)
=<i(A^~-A^~^|)psi_1|psi_2>,
(37)

所以 i(A^~-A^~^|) 是厄米的。類似地，

<psi_1|(A^~A^~^|)psi_2>=<A^~^|psi_1|A^~|psi_2>
(38)
=<(A^~A^~^|)psi_1|psi_2>,
(39)

所以 A^~A^~^| 是厄米的。

另請參閱

伴隨, 厄米矩陣, 自伴, Sturm-Liouville 理論

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. “厄米（自伴）算符。” §9.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 504-506 and 510-516, 1985.

在 中引用

厄米算符

請引用本文為

Weisstein, Eric W. “厄米算符。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/HermitianOperator.html

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