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Sigmoid 函式

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SigmoidFunction
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Sigmoid 函式，也稱為 Sigmoid 曲線 (von Seggern 2007, p. 148) 或 Logistic 函式，是以下函式

y=1/(1+e^(-x)).
(1)

它的導數為

(dy)/(dx)=[1-y(x)]y(x)
(2)
=(e^(-x))/((1+e^(-x))^2)
(3)
=(e^x)/((1+e^x)^2)
(4)

和 不定積分

intydx=x+ln(1+e^(-x))
(5)
=ln(1+e^x).
(6)

它具有 麥克勞林級數

y(x)=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nE_n(0))/(2n!)x^n
(7)
=sum_(n=0)^(infty)((-1)^(n+1)(2^(n+1)-1)B_(n+1))/((n+1))x^n
(8)
=1/2+1/4x-1/(48)x^3+1/(480)x^5-(17)/(80640)x^7+(31)/(1451520)x^9-...,
(9)

其中 E_n(x) 是一個 尤拉多項式，而 B_n 是一個 伯努利數。

它在 x=0 處有一個拐點，其中

y^('')(x)=-(e^x(e^x-1))/((e^x+1)^3)=0.
(10)

它也是 常微分方程

(dy)/(dx)=y(1-y)
(11)

以及初始條件 y(0)=1/2 的解。

另請參閱

愛因斯坦函式, 指數函式, 指數斜坡函式, Heaviside 階躍函式, Logistic 分佈, Logistic 方程

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參考文獻

von Seggern, D. CRC Standard Curves and Surfaces with Mathematics, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 2007.

在 中被引用

Sigmoid 函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Sigmoid 函式。" 來自 --一個 資源。 https://mathworld.tw/SigmoidFunction.html

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