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貝塞爾不等式

如果 f(x) 是分段連續的，並且具有廣義傅立葉級數

sum_(i)a_iphi_i(x)
(1)

具有權重函式 w(x)，則必然成立

int[f(x)-sum_(i)a_iphi_i(x)]^2w(x)dx>=0
(2)
intf^2(x)w(x)dx-2sum_(i)a_iintf(x)phi_i(x)w(x)dx+sum_(i)a_i^2intphi_i^2(x)w(x)dx>=0.
(3)

但是，係數的廣義傅立葉級數由下式給出

a_m=intf(x)phi_m(x)w(x)dx,
(4)

所以

intf^2(x)w(x)dx-2sum_(i)a_i^2+sum_(i)a_i^2>=0
(5)
intf^2(x)w(x)dx>=sum_(i)a_i^2.
(6)

如果函式 {phi_i} 沒有構成完備正交系，則方程 (6) 是一個不等式。如果它們構成完備正交系，則不等式 (2) 變為等式，因此 (6) 變為等式，被稱為帕塞瓦爾定理。

如果 f(x) 具有帶有係數 a_0、 a_1、 ... 、 a_n 和 b_1、 ...、 b_n 的簡單傅立葉級數展開，則

1/2a_0^2+sum_(k=1)^infty(a_k^2+b_k^2)<=1/piint_(-pi)^pi[f(x)]^2dx.
(7)

這個不等式也可以從柯西-施瓦茨不等式推匯出來

|<f|g>|^2<=<f|f><g|g>
(8)

透過將 g 展開為 特徵函式 f 的疊加，g=sum_(i)a_if_i。然後

<f|g>=sum_(i)a_i<f|f_i><=sum_(i)a_i
(9)

並且

|<f|g>|^2<=|sum_(i)a_i|^2=(sum_(i)a_i)(sum_(i)a^__i)
(10)
=sum_(i)a_ia^__i<=<f|f><g|g>,
(11)

其中 f^_ 是複共軛。如果 g 被歸一化，則 <g|g>=1 並且

<f|f>>=sum_(i)a_ia^__i.
(12)

另請參閱

完備正交系, 廣義傅立葉級數, 帕塞瓦爾定理, 柯西-施瓦茨不等式, 三角不等式

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 頁 526-527, 1985.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 頁 1102, 2000.Kaplan, W. Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 頁 501, 1992.

在 中被引用

貝塞爾不等式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Bessel's Inequality." 來自 —— Wolfram 網路資源. https://mathworld.tw/BesselsInequality.html

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