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施瓦茨不等式

設 psi_1(x) 和 psi_2(x) 是在 [a,b] 中的任意兩個 實 可積 函式，則施瓦茨不等式由下式給出

|<psi_1|psi_2>|^2<=<psi_1|psi_1><psi_2|psi_2>.
(1)

顯式寫出

[int_a^bpsi_1(x)psi_2(x)dx]^2<=int_a^b[psi_1(x)]^2dxint_a^b[psi_2(x)]^2dx,
(2)

等號成立當且僅當 psi_1(x)=alphapsi_2(x)，其中 alpha 是常數。施瓦茨不等式有時也稱為柯西-施瓦茨不等式 (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 1099) 或本雅科夫斯基不等式 (Hardy et al. 1952, p. 16)。

為了推導不等式，設 psi(x) 是一個 複函式，lambda 是一個 復 常數，使得 psi(x)=f(x)+lambdag(x) 對於某些 f 和 g。由於 intpsi^_psidx>=0，其中 z^_ 是 複共軛，

intpsi^_psidx=intf^_fdx+lambdaintf^_gdx+lambda^_intg^_fdx+lambdalambda^_intg^_gdx>=0,
(3)

等號成立當 psi(x)=0 時。用緊湊符號表示，

<f^_,f>+lambda<f^_,g>+lambda^_<g^_,f>+lambdalambda^_<g^_,g>>=0.
(4)

現在定義

lambda=-(<g^_,f>)/(<g^_,g>)
(5)
lambda^_=-(<g,f^_>)/(<g^_,g>).
(6)

將 (4) 乘以 <g^_,g>，然後代入 (5) 和 (6) 得到

<f^_,f><g^_,g>-<f^_,g><g^_,f> -<g^_,f><g,f^_>+<g^_,f><g,f^_>>=0,
(7)

化簡為

<g^_,f><f^_,g><=<f^_,f><g^_,g>
(8)

所以

|<f,g>|^2<=<f,f><g,g>.
(9)

貝塞爾不等式 由施瓦茨不等式得出。

另請參閱

貝塞爾不等式, 柯西不等式, 赫爾德不等式

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 11, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 527-529, 1985.Buniakowsky, V. "Sur quelques inégalités concernant les intégrales ordinaires et les intégrales aux différences finies." Mémoires de l'Acad. de St. Pétersbourg (VII) 1, No. 9, p. 4, 1959.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1099, 2000.Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. "Further Remarks on Method: The Inequality of Schwarz." §6.5 in Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 132-134, 1952.Schwarz, H. A. "Über ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung." Acta Soc. Scient. Fen. 15, 315-362, 1885. Reprinted in Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Vol. 1. New York: Chelsea, pp. 224-269, 1972.

在 中被引用

施瓦茨不等式

請引用為

Weisstein, Eric W. "Schwarz's Inequality." 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/SchwarzsInequality.html

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