柯西不等式

是 赫爾德求和不等式 在 時的特例，

(1)

其中等式成立的條件是 。該不等式有時也稱為拉格朗日不等式 (Mitrinović 1970, p. 42)，並且可以寫成向量形式：

(2)

在二維情況下，它變為：

(3)

可以透過以下方式證明：

(4)

如果 是一個常數 ，則 。如果它不是常數，那麼對於 實數 ，所有項不能同時消失，因此解是 複數，可以使用 二次方程 找到：

(5)

為了使這個解是 複數，必須滿足：

(6)

當 是常數時等號成立。向量 推導要簡單得多：

(7)

其中

(8)

對於 也是類似的。