廣義傅立葉積分

所謂的廣義傅立葉積分是一對積分——“下傅立葉積分”和“上傅立葉積分”——它們允許某些復值函式 被分解為積分定義的函式的和，每個函式都類似於與 相關的通常的傅立葉積分，並保持其若干關鍵性質。

設 為實變數，設 為復變數，並設 為函式，對於該函式， 當 時，對於該函式， 當 時，並且對於該函式， 具有解析傅立葉積分，其中 是有限實常數。 接下來，分別透過以下方式定義與 相關的上、下廣義傅立葉積分 和 ：

(1)

和

(2)

在複數區域 和 上，分別地。然後，對於 和 ,

(3)

其中第一個積分被加數等於 對於 並且對於 為零，而第二個積分被加數對於 為零，並且對於 等於 。分解 () 稱為對應於 的廣義傅立葉積分。

請注意，一些文獻使用與 不同的乘法常數來定義上、下積分 和 ，因此 () 中的恆等式可能看起來略有不同。