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重複積分

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重複積分是對單個變數多次積分的積分（與多重積分不同，後者由對不同變數積分多次組成）。 微積分基本定理指出，如果F(x)=D^(-1)f(x)是f(x)的積分，那麼

int_0^xf(t)dt=F(x)-F(0).
(1)

現在，如果F(0)=0，那麼

F(x)=intf(x)dx=int_0^xf(t)dt.
(2)

透過歸納法可知，如果F(0)=F(F(0))=...=0，那麼n重f(x)積分由下式給出

D^(-n)f(x)=int...int_0^x_()_(n)f(x)dx...dx_()_(n)
(3)
=int_0^x(f(t)(x-t)^(n-1))/((n-1)!)dt.
(4)

類似地，如果F(x_0)=F(F(x_0))=...=0，那麼

int...int_(x_0)^x_()_(n)f(x)dx...dx_()_(n)=int_(x_0)^x(f(t)(x-t)^(n-1))/((n-1)!)dt.
(5)

另請參閱

分數階積分, 富比尼定理, 積分, 多重積分

使用 探索

參考文獻

Samko, S. G.; Kilbas, A. A.; 和 Marichev, O. I. 分數階積分與導數。 Yverdon, Switzerland: Gordon and Breach, p. 33, 1993.

在 上引用

重複積分

引用為

Weisstein, Eric W. “重複積分。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/RepeatedIntegral.html

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