微積分基本定理

微積分基本定理將導數和積分相互關聯起來。這些關係既是重要的理論成就，也是實用的計算工具。雖然一些作者將這些關係視為一個由兩個“部分”組成的單一定理（例如，Kaplan 1999，第 218-219 頁），但每個部分更常被單獨提及。

雖然術語有所不同（有時甚至會發生轉置，例如，Anton 1984），但最常見的表述（例如，Apostol 1967，第 202 頁）認為微積分第一基本定理，也稱為“基本定理，第一部分”（例如，Sisson 和 Szarvas 2016，第 452 頁），指出，對於在開區間 上的實值連續函式 和 為 中的任意數，如果 由下式定義

(1)

則

(2)

在 中的每個數處。

類似地，微積分第二基本定理的最常見表述（例如，Apostol 1967，第 205 頁），也稱為“基本定理，第二部分”（例如，Sisson 和 Szarvas 2016，第 456 頁），指出，如果 是在閉區間 上的實值連續函式，並且 是 在 上的不定積分，則

(3)

這個結果雖然在初等微積分課程中很早就教授，但實際上是一個非常深刻的結果，它將純粹代數的不定積分和純粹分析（或幾何）的定積分聯絡起來。

微積分第三基本定理適用於沿曲線的積分（即路徑積分），並指出，如果 在包含引數化曲線 (對於 ) 的區域 中具有連續的不定積分 ，則

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(Krantz 1999，第 22 頁)。