主題
Search

定積分

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook

定積分是一種 積分

int_a^bf(x)dx
(1)

帶有上限和下限。如果 x 被限制在 實數線 上，則定積分被稱為 黎曼積分（這是在基礎教科書中常見的定義）。然而，一般的定積分是在複平面上取的，結果是 圍道積分

int_a^bf(z)dz,
(2)

其中 a、 b 和 z 通常是複數，從 a 到 b 的積分路徑被稱為 圍道。

微積分第一基本定理 允許定積分用 不定積分 計算，因為如果 F 是 不定積分 對於 連續函式 f(x)，則

int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a).
(3)

這個結果，雖然在基礎 微積分 課程中很早就教授，但實際上是一個非常深刻的結果，它連線了純代數的 不定積分 和純解析（或幾何）的定積分。定積分可以在 Wolfram 語言 中使用以下命令計算Integrate[f, {x, a, b}].

哪些定積分可以用 初等函式 表示的問題，目前沒有任何成熟的理論可以解決。事實上，這個問題屬於超越數論，似乎是“無限困難”的。例如，有些定積分等於 尤拉-馬歇羅尼常數 gamma。然而，決定 gamma 是否可以用 初等函式 在有理數值處的值來表示的問題，涉及到決定 gamma 是有理數還是代數數，而這仍然是未知的。

定積分的積分規則包括

int_a^af(x)dx=0
(4)

和

int_a^bf(x)dx=-int_b^af(x)dx.
(5)

對於 c in (a,b)，

int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx.
(6)

如果 g^' 在 [a,b] 上連續，並且 f 在包含 g(x) 對於 a<=x<=b 的值的 區間 上連續且有原函式，則

int_a^bf(g(x))g^'(x)dx=int_(g(a))^(g(b))f(u)du.
(7)

沃森三重積分 是（非常）具有挑戰性的 多重積分 的例子。其他具有挑戰性的積分包括 艾哈邁德積分 和 阿貝爾積分。

對於一般輸入，定積分是計算機數學軟體包中的一個棘手問題，在應用它們進行定積分時需要謹慎。考慮以下形式的定積分

I(a)=int_0^(pi/2)(dx)/(1+(tanx)^a),
(8)

這可以透過利用三角恆等式輕鬆完成

tan(1/2pi-x)=cotx.
(9)

令 z=(tanx)^a，

I(a)=int_0^(pi/4)(dx)/(1+z)+int_(pi/4)^(pi/2)(dx)/(1+z)
(10)
=int_0^(pi/4)(dx)/(1+z)+int_0^(pi/4)(dx)/(1+1/z)
(11)
=int_0^(pi/4)(1/(1+z)+1/(1+1/z))dx
(12)
=int_0^(pi/4)dx
(13)
=1/4pi.
(14)

然而，許多計算機數學軟體包只能針對 a 的特定值計算此積分，或者根本無法計算。另一個計算機軟體包難以處理的例子是

int_(-pi)^piln[2cos(1/2x)]dx=0,
(15)

它非平凡地等於 0。

一些定積分，其中前兩個歸功於 Bailey 和 Plouffe (1997)，第三個歸功於 Guénard 和 Lemberg (2001)，Borwein 和 Bailey (2003, p. 61) 以及 Bailey 等人 (2007, p. 62) 認為它們在 Mathematica 4.2 版本中計算的結果“技術上正確”但“沒有用處”，現重現如下。更新版本的 Wolfram 語言 直接以 Borwein 和 Bailey 給出的相同簡單形式返回它們，甚至不需要額外的簡化

int_0^1(t^2lntdt)/((t^2-1)(t^4+1))=(pi^2(2-sqrt(2)))/(32)
(16)
=0.18067...
(17)
int_0^(pi/4)(t^2dt)/(sin^2t)=K+1/4piln2-1/(16)pi^2
(18)
=0.84351...
(19)
int_0^pi(xsinxdx)/(1+cos^2x)=1/4pi^2
(20)
=2.467401...
(21)

（OEIS A091474、A091475 和 A091476），其中 K 是 卡塔蘭常數。現代版本的 Wolfram 語言 也可以輕鬆計算第四個挑戰中提出的積分，

int_0^(pi/4)(t^3dt)/(sin^2t)=3/4piK-1/(64)pi^3+3/(32)pi^2ln2-(105)/(64)zeta(3)
(22)
=0.3429474...
(23)

（OEIS A091477），其中 zeta(3) 是 阿佩裡常數。

一個漂亮的定積分，歸功於 L. Glasser 和 O. Oloa（L. Glasser，私人通訊，2007 年 1 月 6 日）由下式給出

int_0^(pi/2)(x^2)/(x^2+ln^2(2cosx))dx=1/8pi[1-gamma+ln(2pi)]
(24)
=0.887759656...
(25)

（OEIS A127196），其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數。這個積分（以 Oloa 最初考慮的形式）是積分類別的 n=1 情況

∮(ln^nzdz)/(zln(1+z))
(26)

Glasser 之前研究過。上面給出的閉合形式由 Glasser 和 Oloa 獨立發現（L. Glasser，私人通訊，2010 年 2 月 2 日；O. Oloa，私人通訊，2010 年 2 月 2 日），並且結果的證明隨後由 Glasser 和 Manna (2008) 以及 Oloa (2008) 發表。Oloa 和其他人隨後研究了該積分的推廣；另見 Bailey 和 Borwein (2008)。

一個有趣的積分類別是

C(a)=int_0^1(tan^(-1)(sqrt(x^2+a^2)))/(sqrt(x^2+a^2)(x^2+1))dx,
(27)

它們具有特殊值

C(0)=1/8piln2+1/2K
(28)
C(1)=1/4pi-1/2pisqrt(2)+3/2sqrt(2)tan^(-1)(sqrt(2))
(29)
C(sqrt(2))=5/(96)pi^2
(30)

（Bailey 等人 2007, pp. 42 和 60）。

一個憑經驗確定的驚人積分是

2/(sqrt(3))int_0^1(ln^6xtan^(-1)((xsqrt(2))/(x-2)))/(x+1)dx=1/(81648)[-229635L_3(8)+29852550L_3(7)ln3-1632960L_3(6)pi^2+27760320L_3(5)zeta(3)-275184L_3(4)pi^4+36288000L_3(3)zeta(5)-30008L_3(2)pi^6-57030120L_3(1)zeta(7)],
(31)

其中

L_3(s)=sum_(n=1)^(infty)1/((3n-2)^s)-1/((3n-1)^s)
(32)
=1/(3^s)[zeta(s,1/3)-zeta(s,2/3)]
(33)

（Bailey 等人 2007, p. 61）。

一個看似複雜的有理函式定積分，但具有簡單解，由下式給出

int_0^infty(x^8-4x^6+9x^4-5x^2+1)/(x^(12)-10x^(10)+37x^8-42x^6+26x^4-8x^2+1)dx =1/2pi
(34)

（Bailey 等人 2007, p. 258）。

另一個具有挑戰性的積分是勒洛四面體的體積積分，

V=int_0^1[(8sqrt(3))/(1+3t^2)-(16sqrt(2)(3t+1)(4t^2+t+1)^(3/2))/((3t^2+1)(11t^2+2t+3)^2)-(sqrt(2)(249t^2+54t+65))/((11t^2+2t+3)^2)]dt,
(35)
=8/3pi-(27)/4cos^(-1)(1/3)+1/4sqrt(2)
(36)
=0.4221577...
(37)

（OEIS A102888; Weisstein）。

看起來相似的被積函式可能會提供非常不同的結果，正如以下一對優美的式子所示

int_(-infty)^infty(dx)/((e^x-x+1)^2+pi^2)=1/2
(38)
int_(-infty)^infty(dx)/((e^x-x)^2+pi^2)=1/(1+W(1))
(39)
=0.638103743...
(40)

歸功於 V. Adamchik（OEIS A115287; Moll 2006; 錯別字已更正），其中 W(1) 是 歐米伽常數，W(z) 是 蘭伯特 W 函式。這些可以使用圍道積分計算。

計算機數學軟體包也經常返回比實際需要複雜得多的結果。這種型別的一個例子由以下積分提供

phi(alpha)=int_0^piln(1-2alphacosx+alpha^2)dx=2piln|alpha|
(41)

對於 alpha in R 和 |alpha|>1，這可以透過簡單應用 萊布尼茨積分法則 (Woods 1926, pp. 143-144) 得到。

有多種 數值積分 方法可用。關於這些技術的優秀資源包括 Press 等人 (1992) 和 Hildebrand (1956)。最直接的數值積分技術使用 牛頓-科特斯公式（也稱為求積公式），該公式透過各種階數的多項式逼近在等間隔 區間 序列處列表的函式。如果端點被列表，則 2 點和 3 點公式分別稱為 梯形法則 和 辛普森法則。5 點公式稱為 布林法則。梯形法則 的推廣是 龍貝格積分，它可以以更少的函式評估次數產生準確的結果。

如果已知函式的解析形式（而不是僅僅在固定數量的點處列出其值），則最佳的數值積分方法稱為 高斯求積。透過選擇計算函式的最佳 橫座標，高斯求積可以產生最精確的近似值。然而，考慮到現代計算機的速度，高斯求積 形式主義的額外複雜性通常使其不如暴力方法，即簡單地重複計算正則網格上兩倍的點，直到獲得收斂。關於 高斯求積 的一個優秀參考文獻是 Hildebrand (1956)。

1996 年 6 月 2 日比爾·阿門德 (Bill Amend) 的漫畫《福克斯楚步》(FoxTrot) (Amend 1998, p. 19; Mitchell 2006/2007) 以以下定積分作為“難題”考試題，原 intended 用於補習班，但意外地發給了普通班

int_0^(2pi)int_0^(pi/4)int_0^4(rhocosphi)rho^2sinphidrhodphidtheta=32pi.
(42)

該積分對應於在開口角為 pi/2 和半徑為 4 的 球錐 上積分。然而，尚不清楚被積函式在物理上代表什麼（它類似於慣性矩的計算，但這會給出因子 (rhosinphi)^2 而不是給定的 rhocosphi）。

FoxTrot by Bill Amend, June 2, 1996 strip. Reproduced with permission of the author.

另請參閱

阿貝爾積分, 艾哈邁德積分, 微積分, 圍道積分, 富比尼定理, 微積分基本定理, 反常積分, 不定積分, 無窮餘弦積積分, 積分, 反誤差函式, 對數伽瑪函式, 數值積分, 累次積分, 黎曼積分, 瓦爾迪積分 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Amend, B. Camp FoxTrot. Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998.Bailey, D. and Borwein, J. "Computer-Assisted Discovery and Proof." Tapas in Experimental Mathematics (Ed. T. Amdeberhan and V. H. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 21-52, 2008.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Bailey, D. and Plouffe, S. "Recognizing Numerical Constants." Organic Mathematics. Proceedings of the Workshop Held in Burnaby, BC, December 12-14, 1995 (Ed. J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson, and R. Corless). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 73-88, 1997. http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/bailey/.Boros, G. and Moll, V. Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2004.Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Glasser, M. L. and Manna, D. "On the Laplace Transform of the Psi Function." In Tapas in Experimental Mathematics (Ed. T. Amdeberhan and V. H. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 205-214, 2008.Guénard, F. and Lemberg, H. La méthode expérimentale en mathématiques. Heidelberg, Germany: Springer-Verlag, 2001.Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp. 319-323, 1956.Mitchell, C. W. Jr. In "Media Clips" (Ed. M. Cibes and J. Greenwood). Math. Teacher 100, 339, Dec. 2006/Jan. 2007.Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.Oloa, O. "Some Euler-Type Integrals and a New Rational Series for Euler's Constant." In Tapas in Experimental Mathematics (Ed. T. Amdeberhan and V. H. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 253-264, 2008.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Integration of Functions." Ch. 4 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 123-158, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A091474, A091475, A091476, A091477, A102888, A115287, and A127196 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Woods, F. S. Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, 1926.

在 中被引用

定積分

請引用為

Weisstein, Eric W. “定積分”。來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/DefiniteIntegral.html

學科分類