辛普森法則

辛普森法則是一個 牛頓-柯特斯公式，用於使用 二次多項式（即拋物線弧線，而不是梯形法則中使用的直線段）逼近函式 的積分。辛普森法則可以透過對擬合在三個等距點的函式的三階 拉格朗日插值多項式進行積分來推導。 特別地，設函式 在點 、 和 處以距離 等距列表，並記 。那麼辛普森法則指出

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由於它使用二次多項式來逼近函式，因此辛普森法則在逼近三次或更低次多項式的積分時實際上給出了精確的結果。

例如，考慮區間 上的 （黑色曲線），這樣 、 和 。那麼辛普森法則（對應於從三階插值多項式獲得的藍色曲線下的面積）給出

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而 梯形法則（紅色曲線下的面積）給出 ，而實際答案是 1。

以精確形式，

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其中餘項可以寫成

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其中 是區間 中 的某個值。

該法則的擴充套件版本可以寫成用於在 、 、 ...、 處列表的 如下

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其中餘項是

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對於某些 在 中。